和差算

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和差算(わさざん)は、ある事項のをもとにして、個々の事項の数量を求算する問題。 小学校算数における有名な問題の一つ。2元1次連立方程式にあたる。

例題[編集]

ある銭湯に2012人の入場者がいる。入場者のうち、女性は男子より146人多い。銭湯に入場している男性と女性の人数はいくらか。

解答 線分図より

  • 和:女子+男子=2012人
  • 差:女子-男子=146人

である。ここから

  • 和+差=女子×2
  • 和-差=男子×2

という式が導かれる。ゆえに求める人数は、

  • 男子:(2012-146)÷2=933
  • 女子:(2012+146)÷2=1079

で導ける。

答:男子が933人、女子が1079人

Wasazan.jpg

一般公式[編集]

大小2数の和と差が与えられたとき、小さい方は(和-差)÷2、大きい方は(和+差)÷2で求められる。

応用問題[編集]

次のような問題もこの問題の変種と見ることができる。

3組の2数の和[編集]

3組の2数の和から各々の数を求める問題。3元1次連立方程式にあたる。

例題[編集]

3数ABCがある。ABの和は15、BCの和は18、CAの和は17であるとき、Aを求めよ。

解答

  • 2数ABの和は15で、BからAを引いた差が18-17=1なので、(15-1)÷2=7
  • 3数ABCの和は(15+18+17)÷2=25なので、、Aは25-18=7

和積算[編集]

2数の和・から2数を求める問題。2次方程式である。

例題[編集]

2つの整数がある。和は17、積は70であるとき、その数を求めなさい。

解答

  1. 積が70になる整数の組を考えると、(1, 70), (2, 35), (5, 14), (7, 10)である。
  2. このうち和が17になる組を捜すと、7+10=17なので、答えは(7, 10)。

積商算[編集]

2数の積・から、2数を求める問題。

例題[編集]

正である2つの整数があり、2数の積が24、大きい数を小さい数で割ったときの商が6であった。2つの整数を求めなさい。

解答

  1. 小さい数をa、大きい数を6×aとしたとき、6×a×a=24となる。
  2. したがってa×a=24÷6=4となり、a=2のときこの式が成り立つため、小さい数は2であるとわかる。
  3. よって大きい数は6×2=12である。