ゴッパ符号

ゴッパ符号（ゴッパふごう、英: Goppa code）または代数幾何符号（だいすうきかふごう、英: algebraic geometric code）は、有限体 $\mathbb {F} _{q}$ 上の代数曲線 X を使って構築される線型符号である。V. D. Goppa が考案した。場合によっては、興味深い極値特性（extremal property）を示すことがある。

ゴッパ符号は、 $\mathbb {F} _{q}$ 上で定義された非特異の代数多様体 X のいくつかの有理点

P₁, P₂, ..., P_n

を使って構築でき、X 上の因子 G は $P_{i}$ とは互いに素な有理点からのみ得られる。リーマン＝ロッホの定理によれば、因子 G に対応して、一意な有限次元のベクトル空間 $L(G)$ が存在する。このベクトル空間は $X$ の関数空間の部分空間である。

このような情報を使って構築されるゴッパ符号には、2種類のものが存在する。

関数型符号[編集]

曲線 X、因子 G、有理点群 $P_{i}$ から構築される関数型符号は以下の通りである。

$\mathbb {F} _{q}$ 上の L(G) の固定基底

f₁, f₂, ..., f_k

について、対応する $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 内のゴッパ符号は、

(f_i(P₁), f_i(P₂), ..., f_i(P_n))

というベクトルによって $\mathbb {F} _{q}$ 上に分布する。等価的に

\alpha :L(G)\longrightarrow \mathbb {F} ^{n}

の像としても定義され、ここで f は $f\longmapsto (f(P_{1}),\dots ,f(P_{n}))$ で定義される。

上記で定義された $P_{i}$ を使って因子を $D=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}$ とする。通常ゴッパ符号は C(D,G) と記述される。

次に、C 上の因子 D と符号のパラメータの関係を示す。l(D) という記法は L(D) の次元を意味する。

命題ゴッパ符号 C(D,G) の次元は

k=l(G)-l(G-D)

であり、2つの符号語間の最小ハミング距離は

d\geq n-\deg(G)

である。

証明

C(D,G)\cong L(G)/\ker(\alpha )

なので、次が成り立つことを示さなければならない。

\ker(\alpha )=L(G-D)

$f\in \ker(\alpha )$ と仮定する。すると $f(P_{i})=0,i=1,\dots ,n$ なので、 $\mathrm {div} (f)>D$ である。従って $f\in L(G-D)$ である。逆に $f\in L(G-D)$ と仮定する。すると

P_{i}<G,i=1,\dots ,n

なので

\mathrm {div} (f)>D

である（G は $-D$ で問題を解かないので、代わりに f でそれをする必要がある）。従って

f(P_{i})=0,i=1,\dots ,n

となる。 $d\geq n-\deg(G)$ を示すため、 $\alpha (f)$ のハミング重みを d とする。これはつまり、 $n-d$ 個の $P_{i}$ （例えば $P_{i_{1}},\dots ,P_{i_{n-d}}$ ）について $f(P_{i})=0$ であることを意味する。従って $f\in L(G-P_{i_{1}}-\dots -P_{i_{n-d}})$ であり、