ゴッパ符号

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ゴッパ符号(ゴッパふごう、: Goppa code)または代数幾何符号(だいすうきかふごう、: algebraic geometric code)は、有限体 上の代数曲線 X を使って構築される線型符号である。V. D. Goppa が考案した。場合によっては、興味深い極値特性(extremal property)を示すことがある。

ゴッパ符号は、 上で定義された非特異の代数多様体 X のいくつかの有理点

P1, P2, ..., Pn

を使って構築でき、X 上の因子 G とは互いに素な有理点からのみ得られる。リーマン=ロッホの定理によれば、因子 G に対応して、一意な有限次元のベクトル空間 が存在する。このベクトル空間は の関数空間の部分空間である。

このような情報を使って構築されるゴッパ符号には、2種類のものが存在する。

関数型符号[編集]

曲線 X、因子 G、有理点群 から構築される関数型符号は以下の通りである。

上の L(G) の固定基底

f1, f2, ..., fk

について、対応する 内のゴッパ符号は、

(fi(P1), fi(P2), ..., fi(Pn))

というベクトルによって 上に分布する。等価的に

の像としても定義され、ここで f で定義される。

上記で定義された を使って因子を とする。通常ゴッパ符号は C(D,G) と記述される。

次に、C 上の因子 D と符号のパラメータの関係を示す。l(D) という記法は L(D) の次元を意味する。

命題 ゴッパ符号 C(D,G) の次元は

であり、2つの符号語間の最小ハミング距離

である。

証明

なので、次が成り立つことを示さなければならない。

と仮定する。すると なので、 である。従って である。逆に と仮定する。すると

なので

である(G で問題を解かないので、代わりに f でそれをする必要がある)。従って

となる。 を示すため、ハミング重みd とする。これはつまり、 個の (例えば )について であることを意味する。従って であり、

である。

であることに着目して両辺の次数をとると

が得られる。従って

である。Q.E.D.

留数型符号[編集]

留数型符号は関数型符号の双対として定義されるか、 における何らかの関数の留数として定義される。

応用[編集]

暗号理論において、ゴッパ符号はマックエリス暗号で使われている。

一般にゴッパ符号は性質の良い線型符号と見なされ、

の誤りを訂正可能である。また復号も簡単で、ユークリッドの互除法ベールカンプ=マッシー法を使えばよい。

外部リンク[編集]