ユークリッド位相

にユークリッド計量によって誘起される自然位相幾何学である。

数学、特に一般的な位相幾何学において、ユークリッド位相（ユークリッドいそう、Euclidean topology）は $n$ -次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 上で定義されるユークリッド距離から誘導される自然な位相である。

定義[編集]

$\mathbb {R} ^{n}$ 上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数 $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ で以下のように定義される:

\left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.

他のノルム同様、ユークリッドノルムから距離が

d(p,q)=\|p-q\|

で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離

d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点

p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)

と

q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)

は:

d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.

任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。^[1]

\mathbb {R} ^{n}

上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。 すなわち、

\mathbb {R} ^{n}

上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球

B_{r}(p)

の和集合で与えられる。ここで

B_{r}(p)

は、

B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\}(0<r\in \mathbb {R} ,p\in \mathbb {R} ^{n})

( $d$ はユークリッド距離)で定義される。

性質[編集]

この位相が与えられたとき、実数直線 $\mathbb {R}$ はT₅ 空間である。 ${\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing$ を満たす $\mathbb {R}$ の部分集合 $A$ , $B$ が与えられたとき(ここで ${\overline {A}}$ は $A$ の閉包)、開集合 $S_{A}$ , $S_{B}$ が存在して、 $A\subseteq S_{A}$ , $B\subseteq S_{B}$ , $S_{A}\cap S_{B}=\varnothing$ となる。^[2]