ヤングの不等式

ヤングの不等式(-ふとうしき、Young's inequality)とは、積とべき乗の和との間に成り立つ不等式であり、様々な分野で広く用いられている。

a,bを非負値な実数、1 < p,q < ∞を1/p + 1/q = 1 なる実数とする。このとき、

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$$ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$

が成り立つ。等号が成立するのは a^p = b^q のときに限る。

とくに、これを変形した任意のε>0に対する式

$ab\leq \varepsilon a^{p}+{\frac {1}{\varepsilon ^{\frac {1}{p-1}}}}b^{q}.$$ab \le \varepsilon a^p + \frac{1}{\varepsilon ^{\frac{1}{p-1}}} b^q.$

もよく使われる。

一般化されたヤングの不等式

f(x)をx≧0で連続、狭義単調増加、f(0) = 0なる関数で、a,b>0とすると、

$ab\leq \int _{0}^{a}f(x)\ dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\ dx$$ab \le \int ^a _0 f(x) \ dx + \int ^b _0 f^{-1} (x) \ dx$

が成り立つ。等号はb=f(a)のときに限る。

f(x)=x^p-1に適用すれば冒頭のヤングの不等式が得られる。

畳み込みに関するヤングの不等式

1 ≤ p,q ≤ ∞ かつ 1/r = 1/p + 1/q - 1 ≥ 0 とし、f を L^p(Rⁿ) 、g を L^q(Rⁿ) の元とする。このとき、f * g は L^r(Rⁿ) の元となり、

$\|f*g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}$$\| f * g \| _{L^r} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^q}$

が成り立つ。

例

とくに、p,q の片方を 1 にしたものが有用である。例えば q = 1 とすれば、f を L^p(Rⁿ) 、g を L¹(Rⁿ) の元としたときに、f * g は L^p(Rⁿ) の元となり、

$\|f*g\|_{L^{p}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{1}}$$\| f * g \| _{L^p} \le \| f \| _{L^p} \| g \| _{L^1}$

が成り立つことが分かる。これは f と g の畳み込みの L^p-ノルムが f の L^p-ノルムと g のL¹-ノルムの積で抑えられていることを表している。

関連項目

• 不等式
• コーシー・シュワルツの不等式
• ヘルダーの不等式
• ミンコフスキーの不等式
• 畳み込み