バローの不等式

バローの不等式（-ふとうしき、英: Barrow's inequality）は、幾何学において三角形の頂点との距離と、角の二等分線の長さに関する不等式である。 デヴィッド・フランシス・バローに因んで名付けられた。

主張

△ABCの内部の任意の点Pについて、それぞれ∠BPC,∠CPA,∠APBの二等分線とBC,CA,ABの交点をU,V,Wとする。バローの不等式は次の式である。

$PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,$

等号成立条件は△ABCが正三角形でPがその中心であること。

一般化

バローの不等式は任意の凸多角形に一般化できる。n角形$A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$の内部の点$P$について$\angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}$の二等分線と辺$A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$の交点をそれぞれ$Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}$とする。このとき次の不等式が成り立つ。

$\sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|$

$\sec(x)$ は正割関数である。$n=3$のとき$\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$となって、バローの不等式を得る。

歴史

バローの不等式とエルデシュ・モーデルの不等式

${\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}$

バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式より強力な不等式である。バローの不等式は1937年、デヴィッド・フランシス・バローが The American Mathematical Monthlyに投稿したエルデシュ・モーデルの不等式の証明を初出とする。1961年より以前に "Barrow's inequality"の名が使われ始めている。

より単純な証明はルイス・モーデルにより発見された。

関連

• オイラーの定理
• 三角形に関する不等式の一覧

外部リンク

• Hojoo Lee: Topics in Inequalities - Theorems and Techniques
• “エルデス・モーデルの定理の証明”. 高校数学の美しい物語. 2024年7月25日閲覧。