ハミング限界

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ハミング限界(ハミングげんかい、: Hamming bound)は、符号線型符号とは限らない)のパラメータの限界値を指す。球充填の限界を情報理論の観点で言い直したものと言える。ハミング限界に従った符号を「完全符号; perfect code」と呼ぶ。

定義[編集]

q進数の符号 が長さ で最小ハミング距離 であるとき、その可能な最大サイズ(符号語の総数)を とする。なお、q進数の符号は、 個の要素の 上の線型符号である。

すると、次が成り立つ。

ここで、

証明[編集]

の定義から、符号語の転送において最大で の誤りが発生したとすると、最小距離復号によって正しく復号できる(すなわち、符号化された符号語を正しく復号できる)。つまり、この符号は 個の誤りを訂正可能である。

であるようなある符号語について、 を中心とする半径 を考える。このような球の範囲内なら誤り訂正が正しく行われる。符号語を構成する 個の要素のうち 個まで誤りがあっても正しく復号できるため、それぞれの球には以下の符号語が含まれる(つまり、中心にある真の符号語の一部を変更した符号語群の数)。符号語の一桁は q進数であるから、とりうる値は 種類になる。

に存在する符号語の総数を とする。全ての符号語から球の和集合をとると、結果として得られる符号語の総数は 以内となる。それぞれの球は重ならないので、それぞれの要素数の総和をとると、次が成り立つといえる。

従って、次が導かれる。

関連項目[編集]