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ハイネ・カントールの定理(英語: Heine–Cantor theorem)とは、次のような定理である。
- M をコンパクトな距離空間、N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f : M → N は一様連続である。
微分積分学では次のように表現される。
定理 有界閉区間 I 上の連続関数 f : I → R は一様連続である。
実数
を任意に取る。連続性より、各
に対して
は
を含む
の開集合である。ここで
は開球を表す。
となるような
たちの全体は
の開被覆を成す。
はコンパクトだから有限部分被覆
が取れる。
と置く。いま
について
と仮定する。ある
に対して
である。よって三角不等式より
である。ここから
が分かる。すなわち
である。三角不等式から
が分かる。