ノート:ワイエルシュトラスのM判定法

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次の関数列を考える。

$S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).$

前提条件より数列 $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$は収束し、かつM_n は任意の正整数に対して非負なので、コーシーの収束判定法により,

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

この選ばれた Nに対して,

$\forall x\in A:\forall m>n>N$

$\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

（この（1)の不等式は三角不等式）

よって列 S_n(x) はR または C上のコーシー列 であり、実数、複素数は完備なことから, S(x)はx依存したある数に収束する.--橋本明生浩 2024年4月2日 (火) 00:55 (UTC)