行列表示

量子力学において、行列表示（ぎょうれつひょうじ）とは、演算子を行列、状態ベクトルを縦ベクトルとして計算する方法である。

実際に計算機を用いて計算を行う場合は、微積分などの演算子を使う形式よりも行列表示の方が扱いやすい。

演算子の行列要素

任意の正規直交完全系 $\left\{|1\rangle ,\cdots ,|m\rangle ,\cdots ,|n\rangle ,\cdots \right\rbrace$ をひとつ選ぶと、これを用いて演算子と状態ベクトルは以下のように展開できる。

{\hat {A}}={\hat {1}}{\hat {A}}{\hat {1}}=\sum _{n,m}|n\rangle \ \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \ \langle m|=\sum _{n,m}|n\rangle \ A_{nm}\langle m|

|\psi \rangle ={\hat {1}}|\psi \rangle =\sum _{n}|n\rangle \ \langle n|\psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle

この $\langle n|{\hat {A}}|m\rangle \ =A_{nm}\$ を、「演算子 ${\hat {A}}\$ の行列要素」と呼ぶ。

このように行列表示をすれば、「状態ベクトル $|\psi \rangle$ に演算子 ${\hat {A}}\$ を作用して、新たな状態ベクトル $|\psi '\rangle$ を得た」

{\hat {A}}|\psi \rangle =|\psi '\rangle

ということは、「縦ベクトル $(\psi _{m})\$ と行列 $(A_{nm})\$ のかけ算で、新たな縦ベクトル $(\psi '_{n})\$ を得た」

\sum _{m}\ A_{nm}\psi _{m}=\psi '_{n}

あるいは

{\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &&\\A_{21}&\ddots &&&\\\vdots &&A_{nm}&&\vdots \\&&&\ddots &\\&&\cdots &&\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \psi _{1}\\\ \vdots \\\ \psi _{m}\\\ \vdots \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \psi '_{1}\\\ \vdots \\\ \psi '_{n}\\\ \vdots \\\end{pmatrix}}

と表現できる。