文様群

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文様群（もんようぐん、英: wallpaper group）もしくは壁紙群（かべがみぐん）は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築や美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。

歴史[編集]

1891年にEvgraf Fedorovによって、2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明が試みられ[1]、1924年George Pólyaによって証明された[2]。

卜部東介（1953–2011、当時茨城大学）が、2002年に 利根安見子、近藤誠造（京都府立大学）の協力のもと、日本の伝統文様には17種類の文様群すべてが含まれていることをインターネット上に発表した。[1]

導入[編集]

文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。

対称性[編集]

17種のパターンは対称性の組み合わせからなっている。

  • 並進対称性：Translations
  • 回転（60°、 90°、120°、180°）：Rotations
  • 鏡映（鏡像対称性）：mirror isometries
  • 映進（並進と鏡映の組み合わせ）：Glide reflections

文様群の表記[編集]

結晶学記法[編集]

結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。

  • 基本胞（primitive cell）の場合P、中心胞 (centered cell) の場合はCが頭文字となる。
  • 回転対称数：360°/n 回
  • 鏡映：鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesからm、鏡映していない場合は1（もしくは省略）
  • 映進：映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1（もしくは省略）

例[編集]

  • p2 (p211): 基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
  • c2mm: 中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
  • p31m: 基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映

オービフォルド記法[編集]

詳細は「オービフォルド記法（英語版）」を参照

17種の文様群[編集]

記号説明
  • ひし形は 180° (= 360°/ 2) の回転中心
  • 三角形は、120° (= 360°/3) の回転中心
  • 正方形は、90° (= 360°/4) の回転中心
  • 六角形は、60° (= 360°/6) の回転中心
  • 太い線は鏡映軸
  • 鏡映と並進を組み合わせた映進軸
  • 黄色い領域は、基本パターンである。

p1群[編集]

P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。

  • オービフォルド記法：o
  • 点群: C1
日本の伝統文様における代表例＜雲立涌＞

p1の例

p2群[編集]

  • オービフォルド記法：2222
  • 点群: C2
日本の伝統文様における代表例＜子持吉原＞

p2の例

pm群[編集]

  • オービフォルド記法：**
  • 点群: D1
日本の伝統文様における代表例＜桐立涌＞

pmの例

pg群[編集]

  • オービフォルド記法：××
  • 点群: D1
日本の伝統文様における代表例＜鎌輪ぬ＞

pgの例

cm群[編集]

  • オービフォルド記法：*×
  • 点群: D1
日本の伝統文様における代表例＜青海波＞

㎝の例

p2mm群[編集]

  • オービフォルド記法：*2222
  • 点群: D2
日本の伝統文様における代表例＜両滝縞＞

p2mmの例

p2mg群[編集]

  • オービフォルド記法：22*
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜山路文＞

p2mgの例

p2gg群[編集]

  • オービフォルド記法：22×
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜紗綾形＞

p2mgの例

c2mm群[編集]

  • オービフォルド記法：2*22
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜松皮菱＞

c2mmの例

p4群[編集]

  • オービフォルド記法：442
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜角繋ぎ＞

p4の例

p4mm群[編集]

  • オービフォルド記法：*442
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜市松＞

p4mmの例

p4mg群[編集]

  • オービフォルド記法：4*2
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜五崩し＞

p4mgの例

p3群[編集]

  • オービフォルド記法：333
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜鶴亀甲＞

p3の例

p3m1群[編集]

  • オービフォルド記法：*333
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲＞

p3m1の例

p31m群[編集]

  • オービフォルド記法：3*3
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲２＞

p6群[編集]

  • オービフォルド記法：632
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜六つ手卍＞

p6mm群[編集]

  • オービフォルド記法：*632
  • 点群:
日本の伝統文様における代表例＜麻の葉＞

参考文献[編集]

  1. ^ E. Fedorov (1891) "Simmetrija na ploskosti" [Symmetry in the plane], Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society], series 2, vol. 28, pages 245-291 (in Russian)
  2. ^ George Pólya (1924) "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene," Zeitschrift für Kristallographie, vol. 60, pages 278–282.

関連項目[編集]

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