埋め込み境界法

埋め込み境界法（境界埋め込み法、immersed boundary法）は、流体が弾性構造体や膜と相互作用している力学系をコンピュータシミュレーションする手法である。構造体の変形と流体の運動の連成問題は、数値計算上の課題を多く含んでいる。埋め込み境界法では、流体はオイラー座標系で、構造物はラグランジュ座標系で表現する。ニュートン流体で非圧縮性流体の場合、ナビエ-ストークス方程式と連続の式は、構造体が流体に及ぼす力の密度 $f(x,t)$ を用いると以下のようになる。

$\rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot \nabla {u}\right)=\mu \Delta u(x,t)-\nabla p+f(x,t)$

$\nabla \cdot u=0$

通常、流体中の構造体は相互作用しあう粒子の集まりで表現する。 $j$ 番目の粒子の座標を $Z_{j}$ 、粒子 $j$ で働かせる力を $F_{j}$ とすると、力の密度 $f(x,t)$ は、以下の式のようになる。

$f(x,t)=\sum _{j=1}^{N}\delta _{a}(x-Z_{j})F_{j}$

ここで、 $\delta _{a}$ はディラックのデルタ関数を長さ $a$ のスケールで平滑化した関数である。一方、構造体の変形は、次式に基づいて行われる。

${\frac {dZ_{j}}{dt}}=\int \delta _{a}(x-Z_{j})u(x,t)dx$

この方法の様々な改良形は、弾性構造体と流体の相互作用を伴う力学系のシミュレーションに広く応用されている。

参考資料

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