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凸集合とは、ユークリッド空間において、集合の任意の二点を結ぶ線分が集合に含まれるような集合をいう。
たとえば、立方体は、凸集合であるが、へこみのあるような集合は凸集合ではない。
凸集合
C を実、または複素ベクトル空間とする。C が凸集合であるとは、C に含まれる任意の x , y と、区間[0,1]に含まれる任意の t について、点
- (1 − t) x + t y
が、C に含まれることを言う。言い換えれば、x と y を結ぶ線分が C に含まれることである。
凸集合は連結である。
実数Rの凸集合は、区間である。正多面体は凸集合であり、星型正多面体は凸集合ではない。
関連項目
