一致の定理

数学において、一致の定理(identity theorem)は、局所的に一致する複素解析関数が大域的に一致することを主張する定理である。単連結開領域${\mathcal {D}}\subset \mathbb {C}$で正則な複素関数$f(z),g(z)$は、領域${\mathcal {D}}$内に集積点を持つ点列の上で一致すれば領域${\mathcal {D}}$全体で一致する。この場合、点とは複素平面上の点である。従って、点列は複素数の数列であると考えてよい。点列が集積点$a$を持つとは、いかに小さな正の実数$\epsilon$を選ぼうとも$0<|z_{k}-a|<\epsilon$となる点$z_{k}$が点列に含まれることをいう。領域${\mathcal {D}}$内の異なる二点$a,b\in {\mathcal {D}}$を結ぶ曲線$\gamma \subset {\mathcal {D}}$の上で$\forall {z\in \gamma },f(z)=g(z)$であれば、$z_{1}=b$から始め、曲線に沿って$z_{k}$と$a$の中間点を$z_{k+1}$として得る点列$\{z_{k}\}$は集積点$a\in {\mathcal {D}}$を持ち、$f(z_{k})=g(z_{k})$であるから、一致の定理により、領域${\mathcal {D}}$全体で$\forall {z\in {\mathcal {D}}},f(z)=g(z)$ある。

証明

一致の定理の証明は二段階になる。

• $f(z),g(z)$が集積点$a\in {\mathcal {D}}$を持つ点列の上で一致すれば$\forall {z\in \delta },f(z)=g(z)$となる$a$の近傍$\delta$が存在する。（僅かでも広がりを持つ面領域で一致する）
• $f(z),g(z)$が空でない開部分領域$\delta \subset {\mathcal {D}}$で一致すれば${\mathcal {D}}$全体で一致する。

このうち、前半は、解析関数が解析的（テイラー級数への展開が可能）であるという事実から導かれる。後半は、領域${\mathcal {D}}$の形状に関わらず隅々まで一致することを示すために位相の知識を用いることになるが、後半については解析接続の概念により半ば自明と見なすこともある。

前半の証明

正則関数のテイラー展開は正の収束半径$r>0$を持つ。$f(z)-g(z)$を$z=a$を中心としたテイラー級数に展開する。

$f(z)-g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}(z-a)^{k},\qquad (|z-a|<r)$

もし、$c_{k}\not =0$が存在するなら、その中で最も若いものを$c_{n}$とすれば

$f(z)-g(z)=(z-a)^{n}\left({\frac {c_{n}}{n!}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{n+k}}{(n+k)!}}(z-a)^{k}\right),\qquad (|z-a|<r)$

であるから、$\epsilon >0$が存在して$|z-a|<\epsilon$で$f(z)-g(z)\not =0$である。しかし、$a$が$f(z_{k})-g(z_{k})$となる点列の集積点であるという仮定に矛盾する。従って、$c_{k}\not =0$は有りえず、故に$\delta =\{z\in {\mathcal {D}}:|z-a|<r\}$で$\forall {z\in \delta },f(z)-g(z)=0$である。

後半の証明

$f(z),g(z)$が一致する領域のうち、$a$に連結する成分を${\mathcal {S}}$とする。

${\mathcal {S}}=\{z\in {\mathcal {D}}:z{\sim }a,f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\forall {n}\}$

仮定により${\mathcal {S}}$は空でなく連結である。さて、$a=x\in {\mathcal {S}}$であれば仮定により$x$の近傍が${\mathcal {S}}$に含まれる。また、$a\not =x\in {\mathcal {S}}$であれば${\mathcal {D}}$内に$x$と$a$を結ぶ曲線があり、$x$に集積点を持つ点列があり、前半の証明により$x$の近傍が${\mathcal {S}}$に含まれる。従って、${\mathcal {S}}$は開領域である。また、正則関数は連続であるから、$a\in {\overline {\mathcal {S}}}$であれば

$f(x)=\lim _{{\mathcal {S}}{\ni }z{\to }x}f(z)=\lim _{{\mathcal {S}}{\ni }z{\to }x}g(z)=g(x)$

である。従って、${\mathcal {S}}$は閉領域である。連結領域${\mathcal {D}}$の部分で空でなく開であり閉であるものは${\mathcal {D}}$全体以外には存在しないので、

${\mathcal {S}}={\mathcal {D}}$

である。この証明は、$f(z),g(z)$が一致する領域と一致しない領域の「境界」が領域${\mathcal {D}}$内に存在しないことを説明している。「境界」が存在しないということは、領域${\mathcal {D}}$全体で一致することを意味する。

一括の証明

最初から位相の知識を用いれば更に簡潔な証明となる。$\{z\in {\mathcal {D}}:f(z)=g(z)\}$の導集合（集積点の集合）を${\mathcal {A}}$とする。${\mathcal {A}}$は定義により閉集合である。しかし、$f(z)-g(z)$は$x\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {D}}$で正則であるから、正の収束半径$r$の円内でテイラー級数に展開することが可能である。

$f(z)-g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}(z-x)^{k},\qquad (\exists {r>0},|z-z_{0}|<r)$

もし、$c_{k}\not =0$が存在するなら、その中で最も若いものを$a_{n}$とすれば

$f(z)-g(z)=(z-x)^{n}\left({\frac {c_{n}}{n!}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{n+k}}{(n+k)!}}(z-x)^{k}\right),\qquad (\exists {r>0},|z-z_{0}|<r)$

であるから、$|z-x|$が十分に小さければ$f(z)-g(z)\not =0$であるが、これは$x\in {\mathcal {A}}$に反する。従って、$c_{k}\not =0$は有りえず、故に$|z-x|<r$で$f(z)-g(z)=0$であり、${\mathcal {A}}$は開集合である。しかし、連結領域${\mathcal {D}}$の部分で空でなく開であり閉であるものは${\mathcal {D}}$全体以外には存在しないので、

${\mathcal {A}}={\mathcal {D}}$

である。