バナッハ空間の一覧

数学の函数解析学の分野において、バナッハ空間（バナッハくうかん、英: Banach spaces）は最も重要な研究対象の一つである。その他の解析学の分野においても、実際に現れる空間の多くはバナッハ空間である。

古典バナッハ空間

Diestel (1984, Chapter VII) によると、古典バナッハ空間（classical Banach spaces）は Dunford & Schwartz (1958) によって定義されたもので、それらを以下の表に示す。

以下の表で、K は実または複素数体を表し、I は有界閉区間 [a, b] を表す。p は 1 < p < ∞ を満たす実数で、q はそのヘルダー共役（これも 1 < q < ∞ を満たす）を表す。すなわち

${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1\quad (\iff q={\frac {p}{p-1}})$

である。記号 Σ は σ-集合代数を表し、Ξ は（ba空間のような有限加法性のみが要求される空間に対する）ある集合代数を表す。また記号 μ は正測度、すなわち、適当な σ-集合代数上で定義される可算加法的な正の実数値集合函数とする。

古典バナッハ空間

	双対	回帰性	弱完備	ノルム	注釈
Kn	Kn	Yes	Yes	$\|x\|_{2}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}{\bigg )}^{1/2}$
ℓ n p	ℓ n q	Yes	Yes	$\|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}$
ℓ n ∞	ℓ n 1	Yes	Yes	$\|x\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
ℓp	ℓq	Yes	Yes	$\|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}$	1 < p < ∞
ℓ1	ℓ∞	No	Yes	$\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|$
ℓ∞	ba	No	No	$\|x\|_{\infty }=\sup _{i}|x_{i}|$
c	ℓ1	No	No
c0		No	No		c と同型であるが等長ではない。
bv	ℓ1+K	No	Yes	$\|x\|_{bv}=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|$
bv0	ℓ1	No	Yes	$\|x\|_{bv_{0}}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|$
bs	ba	No	No	$\|x\|_{bs}=\sup _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|$	ℓ∞ と等長同型。
cs	ℓ1	No	No		c と等長同型。
B(X,Ξ)	ba(Ξ)	No	No	$\|f\|_{B}=\sup _{x\in X}|f(x)|$
C(X)	rca(X)	No	No		X はコンパクトハウスドルフ空間。
ba(Ξ)	?	No	Yes	$\|\mu \|_{ba}=\sup _{A\in \Sigma }|\mu |(A)$	測度の変動
ca(Σ)	?	No	Yes
rca(Σ)	?	No	Yes
Lp(μ)	Lq(μ)	Yes	Yes	$\|f\|_{p}={\bigg (}\int |f|^{p}\,d\mu {\bigg )}^{1/p}$	1 < p < ∞
L1(μ)	L∞(μ)	No	?	$\|f\|_{1}=\int |f|\,d\mu$	測度 μ が S 上で σ-有限である場合。
L∞(μ)	N ⊥ μ	No	?	$\|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C,{\text{a.e. }}x\}$	N⊥ μ = {σ ∈ ba(Σ) | λ ≪ μ}
BV(I)	?	No	Yes	$\|f\|_{BV}=\lim _{x\to a^{+}}f(x)+V_{f}(I)$	Vf(I) は f の全変動。
NBV(I)	?	No	Yes		f ∈ NBV(I) (⊂ BV(I)) ⇔ $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=0$
AC(I)	K+L∞(I)	No	Yes		ソボレフ空間 W1,1(I) と同型。
Cn(I)	rca(I)	No	No	$\|f\|=\sum _{i=0}^{n}\sup _{x\in [a,b]}|f^{(i)}(x)|$	特にテイラーの定理により Rn ⊕ C(I) と同型。

その他の解析の分野におけるバナッハ空間

• アスプルンド空間
• ハーディ空間
• 有界平均振動の空間 BMO
• 有界変動函数の空間 BV(Ω)
• ソボレフ空間
• バーンバウム＝オルリッチ空間 L_A(μ)
• ヘルダー空間 C^k,α(Ω)
• ローレンツ空間

反例を与えるバナッハ空間

• ジェームズ空間：シャウダー基底を持つが無条件シャウダー基底を持たないバナッハ空間。ジェームズ空間はその二重双対と等長同型であるが、回帰的ではない。
• チレルソン空間：ℓ^pとc₀のいずれも埋め込むことの出来ない回帰的バナッハ空間。
• ウィリアム・ティモシー・ガワーズにより構成された、$X\oplus X\oplus X$ と同型であるが $X\oplus X$ と同型でないような空間 X はシュレーダー＝ベルンシュタインの定理の前提条件を弱める反例を与える。

参考文献

• Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5 .
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience .