順像関手

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数学層論代数幾何学の分野に現れる順像関手(じゅんぞうかんしゅ、: direct image functor)とは、層の切断の概念を相対的な場合へ一般化するものである。

定義[編集]

f: XY をある位相空間連続写像とし、Sh(–) をある位相空間上のアーベル群の層のとする。次の順像関手

f_*: Sh(X) \to Sh(Y)

は、X 上の層 F をその順像前層(direct image presheaf)

f_*F : U \mapsto F(f^{-1}(U))

に送る。この前層は Y 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、X 上の層の射 φ: FGY 上の層の射 f(φ): f(F) → f(G) を導く。

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Y が点であるなら、順像関手は大域切断関手英語版と等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像(exceptional inverse image)は関手 f!: D(Y) → D(X) である。

応用[編集]

同様の定義はエタール層のようなトポスの上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 f−1(U) の代わりに Y についての UXファイバー積英語版が用いられる。

高次順像[編集]

順像関手は左完全(left exact)であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の右導来関手を考えることが出来る。それらは高次順像(higher direct images)と呼ばれ、Rq f と表記される。

高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、X 上のある層 F に対して Rq f(F) は前層

U \mapsto H^q(f^{-1}(U), F)

に対応する層となる。

性質[編集]

  • 順像関手は、逆像関手英語版右随伴であり、このことは任意の連続な f: X \to Y およびそれぞれ XY 上の層である \mathcal F, \mathcal G に対して、自然同型
\mathrm{Hom}_{\mathbf {Sh}(X)}(f^{-1} \mathcal G, \mathcal F ) = \mathrm{Hom}_{\mathbf {Sh}(Y)}(\mathcal G, f_*\mathcal F)

が存在することを意味する。

  • f がある閉部分空間 XY の包含であるなら、f は完全である。実際、この場合 fX 上の層と Y 上の層の間の同値性英語版となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、(f_* \mathcal F)_y の茎(stalk)は、y \in X なら \mathcal F_y で、そうでないならゼロとなる(この証明には Y 内での X近さ英語版が用いられる)。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Direct image (functor)の本文を含む