電気双極子遷移

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電気双極子遷移は、電子と電磁場との相互作用による遷移において,電子の電気双極子が支配的であるときの遷移のことである。実際には磁気双極子電気四極子による寄与もあるのだが、一般的には電気双極子による寄与が最も大きいことが多い。

理論[編集]

遷移確率[編集]

フェルミの黄金率によると、ある相互作用ハミルトニアン\hat{W}が働いているときの状態\psi_iから状態\psi_fへの遷移確率 \left | \langle \psi_f|\hat{W} |\psi_i  \rangle \right |^{2} で表される。では電子と電磁場が相互作用しているような状況を考えた時の\hat{W}の具体的な形はどのようになるだろうか。

光と電子の相互作用[編集]

電磁場と相互作用する原子に束縛された電子のハミルトニアンは、電磁場中の古典的な荷電粒子のエネルギーから類推すると、次のように与えられることがわかる。 [1]

H=\frac{1}{2m}[\mathbf{p}-q\mathbf{A}(\mathbf{r},t)]^2+V(r)-\frac{q}{m}\mathbf{S} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r},t)

このハミルトニアンは時間依存しない項H_0と時間依存する相互作用項W(t)に分けることができる。

H = H_0 + W(t) \
H_0=\mathbf{p}^2/(2m) +V(r)
W(t)=-q/m \mathbf{p}\cdot \mathbf{A}(\mathbf{r},t)-q/m \mathbf{S}\cdot \mathbf{B}(\mathbf{r},t)+q^2/(2m) \mathbf{A}^2(\mathbf{r},t)

時間依存する相互作用項W(t)の第3項目はAについて2次なので、小さな電磁場のときは無視出来る。

双極子近似[編集]

また第1項目と第2項目の和は、光の波長が電子雲の広がりがよりも十分に長いならば、以下のように展開できる。

W(t)=W_{DE}(t)+W_{DM}(t)+W_{QE}(t)+\cdots \

ここでW_{DE}(t)は電気双極子項、W_{DM}(t)は磁気双極子項、W_{QE}(t)は電気四極子項と呼ばれる。電気双極子項以外を無視することを双極子近似という。

電気双極子の項は以下のように表される。

 W_{DE}(t) \propto \boldsymbol{\epsilon} \cdot \sum(-e\mathbf{r}) \

つまりこれは電磁波の偏り\boldsymbol{\epsilon}と電気双極子モーメント\sum(-e\mathbf{r}) \ の相互作用の項である。 電気双極子遷移とは、遷移のなかでも相互作用 W_{DE}(t) 寄与による部分のことを指す。

選択律[編集]

遷移確率は \left | \langle \psi_f|W |\psi_i  \rangle \right |^{2} で表される。  W_{DE} \propto \boldsymbol{\epsilon} \cdot \sum(-e\mathbf{r}) \ は奇関数なので、 \left | \langle \psi_f|W_{DE} |\psi_i  \rangle \right |^{2} が値を持つかどうかは、\psi_i\psi_fの偶奇性(パリティ)によって決まる。

パリティが同じような状態間では、電気双極子遷移の遷移確率はゼロになる。これをラポルテの選択律と呼ぶ。しかし実際には磁気双極子項や電気四極子項も存在することや、対称性が乱れることによる偶奇性の変化もあるため、遷移確率はゼロではなくなり弱い遷移が起こる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ A. E. Siegman (1986). LASERS. University Science Books. ISBN 0-935702-11-3.