連続線型拡張

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数学関数解析学の分野における連続線型拡張(れんぞくせんけいかくちょう、: continuous linear extension)とは、次に述べる手順のことを指す:

完備ノルム線型空間 X 上にある線型変換を定義する時、初めに X 内の稠密部分集合上に線型変換 \mathsf{T} を定義し、その後、後述の定理によって、\mathsf{T} を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界(したがって、連続)である。

定理[編集]

ノルム線型空間 X から完備なノルム線型空間 Y への任意の有界線型変換 \mathsf{T} には、その拡張となるような X完備化から Y へのある有界線型変換 \tilde{\mathsf{T}} が一意に存在する。また、\mathsf{T}作用素ノルムc であることと、\tilde{\mathsf{T}} の作用素ノルムが c であることは同値である。

この定理はしばしば BLT定理と呼ばれる。ここで、BLTは有界線型変換(Bounded Linear Transformation)を意味する。

応用[編集]

一例として、リーマン積分の定義について考える。ある区間 [a,b] 上の階段関数は、次の形式で記述される:

f\equiv r_1 \mathit{1}_{[a,x_1)}+r_2 \mathit{1}_{[x_1,x_2)} + \cdots + r_n \mathit{1}_{[x_{n-1},b]}.

ここで r_1, \ldots, r_n は実数であり、a=x_0<x_1<\ldots <x_{n-1}<x_n=b とし、\mathit{1}_S は集合 S指示関数を表す。[a,b] 上のすべての階段関数からなる空間に L^\infty ノルム(Lp空間を参照)を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを \mathcal{S} と表す。階段関数の積分を、次のように定義する:

\mathsf{I} \left(\sum_{i=1}^n r_i \mathit{1}_{ [x_{i-1},x_i)}\right) = \sum_{i=1}^n r_i (x_i-x_{i-1}).

このとき、関数としての \mathsf{I} は、\mathcal{S} から \mathbb{R} への有界線型変換である[1]

L^\infty ノルムについて右側連続であるような、[a,b] 上の区分的英語版連続かつ有界関数からなる空間を、\mathcal{PC} で表す。上述の空間 \mathcal{S} は、\mathcal{PC} において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 \mathsf{I} は、\mathcal{PC} から \mathbb{R} への有界線型変換 \tilde{\mathsf{I}} へと拡張される。これにより、\mathcal{PC} 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての f\in \mathcal{PC} に対して、そのリーマン積分は

\int_a^b f(x)dx=\tilde{\mathsf{I}}(f)

で定義される。

ハーン=バナッハの定理[編集]

上述の定理によって、有界線型変換 T:S\rightarrow Y を、「SX において稠密であるなら」、\bar{S}=X から Y へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。SX において稠密でない場合、ハーン=バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

参考文献[編集]

  • Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. 

脚注[編集]

  1. ^ ここで、\mathbb{R} もノルム線型空間であることに注意されたい。実際、\mathbb{R}線型空間の公理を満たすことから線型空間であり、そのノルムは絶対値によって定めることが出来る。