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トポロジー において近接空間 （英 : proximity space 、a.k.a. nearness space）は集合と集合の間の「近さ」の概念を公理化したものである。これは位相空間 を特徴付ける、よく知られた点と集合の間の近さの概念と対照的である。
この概念は、Frigyes Riesz (1909 )V. A. Efremovič によって無限小空間 （infinitesimal space）の名で再発見・公理化されたが、これは1951年まで出版されなかった。その間に、A. D. Wallace (1941 )分離空間 （separation space）の名前で同じ概念の或るバージョンを見出した。
近接空間
(
X
,
δ
)
{\displaystyle (X,\delta )}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
関係
δ
{\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}
X
{\displaystyle X}
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
A
δ
B
⟹
B
δ
A
{\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B\implies B{\boldsymbol {\delta }}A}
A
δ
B
⟹
A
≠
∅
{\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B\implies A\neq \varnothing }
A
∩
B
≠
∅
⟹
A
δ
B
{\displaystyle A\cap B\neq \varnothing \implies A{\boldsymbol {\delta }}B}
A
δ
(
B
∪
C
)
⟺
A
δ
B
{\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}(B\cup C)\iff A{\boldsymbol {\delta }}B}
A
δ
C
{\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}C}
(
∀
E
,
A
δ
E
{\displaystyle (\forall E,\ A{\boldsymbol {\delta }}E}
B
δ
(
X
∖
E
)
{\displaystyle B{\boldsymbol {\delta }}(X\setminus E)}
⟹
A
δ
B
.
{\displaystyle \implies A{\boldsymbol {\delta }}B.}
最初の公理を除いた近接性は擬近接性 （quasi-proximity）と呼ばれる。（ただし公理2と4は対称的な形で述べ直されなければならない。）
A
δ
B
{\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
δ
{\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}
A
≪
B
{\displaystyle A\ll B}
A
{\displaystyle A}
X
∖
B
{\displaystyle X\setminus B}
この集合近傍関係の主要な性質を以下に列挙した。これは近接空間の別の公理的な特徴付けを与える。
X
{\displaystyle X}
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
X
≪
X
{\displaystyle X\ll X}
A
≪
B
⟹
A
⊆
B
{\displaystyle A\ll B\implies A\subseteq B}
A
⊆
B
≪
C
⊆
D
⟹
A
≪
D
{\displaystyle A\subseteq B\ll C\subseteq D\implies A\ll D}
(
A
≪
B
{\displaystyle (A\ll B}
A
≪
C
{\displaystyle A\ll C}
⟹
A
≪
B
∩
C
{\displaystyle \implies A\ll B\cap C}
A
≪
B
⟹
X
∖
B
≪
X
∖
A
{\displaystyle A\ll B\implies X\setminus B\ll X\setminus A}
A
≪
B
⟹
∃
E
,
A
≪
E
≪
B
.
{\displaystyle A\ll B\implies \exists E,\ A\ll E\ll B.}
近接空間が分離的（separated）とは、
{
x
}
δ
{
y
}
{\displaystyle \{x\}{\boldsymbol {\delta }}\{y\}}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
近接写像 [ 編集 ] 近接写像（proximal map）とは近さを保つ写像である。つまり、
f
:
(
X
,
δ
)
→
(
X
∗
,
δ
∗
)
{\displaystyle f\colon (X,{\boldsymbol {\delta }})\to (X^{\ast },{\boldsymbol {\delta }}^{\ast })}
X
{\displaystyle X}
A
δ
B
{\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B}
X
∗
{\displaystyle X^{\ast }}
f
(
A
)
δ
∗
f
(
B
)
{\displaystyle f(A){\boldsymbol {\delta }}^{\ast }f(B)}
C
≪
∗
D
{\displaystyle C\ll ^{\ast }D}
X
∗
{\displaystyle X^{\ast }}
f
−
1
(
C
)
≪
f
−
1
(
D
)
{\displaystyle f^{-1}(C)\ll f^{-1}(D)}
X
{\displaystyle X}
他の位相的構造との関係 [ 編集 ] 近接空間が与えられると、そこから
A
↦
{
x
∣
{
x
}
δ
A
}
{\displaystyle A\mapsto \{x\mid \{x\}{\boldsymbol {\delta }}A\}}
クラトフスキーの閉包作用素 （英語版 ） ハウスドルフ である。近接写像は誘導位相の間の連続写像となる。
このようにして得られた位相は常に完全正則 である。ウリゾーンの補題 の通常の証明を模倣することによって証明される。補題の証明に用いる（集合の）無限増加列を構成する際、近接近傍の最後の性質が用いられる。
コンパクトハウスドルフ空間が与えられると、対応する位相がちょうど所与の位相と一致するような近接性が一意的に存在する：
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
コンパクト化 を分類する。
一様空間
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
一様連続 写像はこのとき近接写像となる。
参考文献 [ 編集 ] Efremovič, V. A. (1951), “Infinitesimal spaces” (Russian), Doklady Akademii Nauk SSSR (N.S.) 76 : 341–343, MR 0040748 Naimpally, Somashekhar A.; Warrack, Brian D. (1970). Proximity Spaces . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 59 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-07935-7 . Zbl 0206.24601 Riesz, F. (1909), “Stetigkeit und abstrakte Mengenlehre”, Rom. 4. Math. Kongr. 2 : 18–24, JFM 40.0098.07 Wallace, A. D. (1941), “Separation spaces”, Ann. of Math. , 2 42 : 687–697, doi :10.2307/1969257 , MR 0004756 Vita, Luminita; Bridges, Douglas. A Constructive Theory of Point-Set Nearness . 外部リンク [ 編集 ] 
