有限次元分布

数学における有限次元分布（ゆうげんじげんぶんぷ、英: finite-dimensional distributions）とは、測度論および確率過程の分野に登場するある道具のことを言う。ある測度（あるいは過程）のある有限次元ベクトル空間（あるいは有限時間の全体）への上への「射影」を調べることで、多くの情報が得られる。

測度の有限次元分布

$(X,{\mathcal {F}},\mu )$ をある測度空間とする。$\mu$ の有限次元分布とは、任意の可測函数 $f:X\to \mathbb {R} ^{k}$, $k\in \mathbb {N}$ に対する押し出し測度 $f_{*}(\mu )$ のことを言う。

確率過程の有限次元分布

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ をある確率空間とし、$X:I\times \Omega \to \mathbb {X}$ をある確率過程とする。$X$ の有限次元分布とは、$k\in \mathbb {N}$ に対する直積空間 $\mathbb {X} ^{k}$ 上の押し出し測度

$\mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\dots ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\in S\right.\right\}$

のことを言う。

この条件は頻繁に、可測な長方形領域を用いて次のように表現される。

$\mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,for\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.$

ある過程 $X$ の有限次元分布の定義は、次のようにして測度 $\mu$ の定義と関連付けられる：$X$ の法則 ${\mathcal {L}}_{X}$ とは、$I$ から $\mathbb {X}$ への函数の全体 $\mathbb {X} ^{I}$ 上のある測度であったことを思い出されたい。一般に、これは無限次元空間となる。$X$ の有限次元分布は、有限次元直積空間 $\mathbb {X} ^{k}$ 上の押し出し測度 $f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)$ である。ここで

$f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)$

は自然な「時間 $t_{1},\dots ,t_{k}$ での評価」の函数である。

緊密性との関連

確率測度の列 $(\mu _{n})_{n=1}^{\infty }$ が緊密で、$\mu _{n}$ のすべての有限次元分布が対応するある確率測度 $\mu$ の有限次元分布に弱収束するなら、$\mu _{n}$ は $\mu$ に弱収束する。

関連項目

• 法則 (確率過程)