巡回畳み込み

巡回畳み込み（じゅんかいたたみこみ、英語: circular convolution）あるいは循環畳み込み（じゅんかんたたみこみ、英語: cyclic convolution）とは、二つの非周期関数に対し、一方の周期和を用いて、もう一方を通常の方法で畳み込むことを意味する。このような状況は巡回畳み込み定理の文脈において現れる。もし無限の積分区間が、ちょうど一周期分へと減らされた場合には、両方の関数の周期和として、同様の畳み込み作用を表現することが出来る。このような状況は離散時間フーリエ変換の文脈において現れ、周期畳み込みとも呼ばれる。特に、二つの離散シーケンスの積に対する離散時間フーリエ変換は、各シーケンスに対するその変換の周期畳み込みである。

周期 T の周期関数 x_T　と、他の関数 h との畳み込みはふたたび周期関数となり、次のような形で、有限区間の積分として表現される:

$\begin{align} (x_T * h)(t)\quad &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\ &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau. \end{align}$

ここで t_o は任意のパラメータであり、h_T は h の周期和で、それは次のように定義される:

$h_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^\infty h(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^\infty h(t + kT).$

この演算は関数 x_T と h_T の周期畳み込みである。もし x_T が他の関数 x の周期和であるなら、同様の演算は関数 x と h の巡回畳み込みと呼ばれる。

離散シーケンス

同様に、周期 N の離散シーケンスに対して、関数 h と x の巡回畳み込みを次のように書くことが出来る:

$\begin{align} (x_N * h)[n] \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{m=-\infty}^\infty h[m] \cdot x_N[n-m] \\ &= \sum_{m=-\infty}^\infty \left( h[m] \cdot \sum_{k=-\infty}^\infty x[n -m -kN] \right). \end{align}$

これは行列乗算に対応し、その積分変換の核は巡回行列である。

関連項目

• 離散ヒルベルト変換
• 巡回行列

参考文献

• Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. pp. 63–67. ISBN 0-13-914101-4. 
• Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.