巡回畳み込み

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巡回畳み込み(じゅんかいたたみこみ、英語: circular convolution)あるいは循環畳み込み(じゅんかんたたみこみ、英語: cyclic convolution)とは、二つの非周期関数に対し、一方の周期和英語版を用いて、もう一方を通常の方法で畳み込むことを意味する。このような状況は巡回畳み込み定理の文脈において現れる。もし無限の積分区間が、ちょうど一周期分へと減らされた場合には、両方の関数の周期和として、同様の畳み込み作用を表現することが出来る。このような状況は離散時間フーリエ変換の文脈において現れ、周期畳み込みとも呼ばれる。特に、二つの離散シーケンスの積に対する離散時間フーリエ変換は、各シーケンスに対するその変換の周期畳み込みである[1]

周期 T周期関数 xT と、他の関数 h との畳み込みはふたたび周期関数となり、次のような形で、有限区間の積分として表現される:


\begin{align}
(x_T * h)(t)\quad &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau.
\end{align}
[2]

ここで to は任意のパラメータであり、hTh の周期和で、それは次のように定義される:

h_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t + kT).

この演算は関数 xThT周期畳み込みである。もし xT が他の関数 x の周期和であるなら、同様の演算は関数 xh巡回畳み込みと呼ばれる。

離散シーケンス[編集]

同様に、周期 N の離散シーケンスに対して、関数 hx巡回畳み込みを次のように書くことが出来る:


\begin{align}
(x_N * h)[n] \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{m=-\infty}^\infty  h[m] \cdot x_N[n-m] \\
&= \sum_{m=-\infty}^\infty  \left( h[m] \cdot \sum_{k=-\infty}^\infty  x[n -m -kN] \right).
\end{align}

これは行列乗算英語版に対応し、その積分変換の核は巡回行列である。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ もし連続関数 x(t) のサンプルからなるシーケンス x[n] のフーリエ変換が X(ƒ) であるなら、その離散時間フーリエ変換は X(ƒ) の周期和となる(離散時間フーリエ変換を参照されたい)。
  2. ^ 証明:
    \int_{-\infty}^\infty  h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau
    
\begin{align}
&= \sum_{k=-\infty}^\infty  \left[\int_{t_o+kT}^{t_o+(k+1)T} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau\right] \\
&\stackrel{\tau \rightarrow \tau+kT}{=}\  \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o}^{t_o+T} h(\tau+kT)\cdot x_T(t - \tau -kT)\ d\tau\right] \\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\cdot \underbrace{x_T(t - \tau-kT)}_{x_T(t - \tau), \text{by periodicity}}\right]\ d\tau\\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty  h(\tau+kT)\right]}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ h_T(\tau)}\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau \quad \quad \scriptstyle{(QED)}
\end{align}

参考文献[編集]

  • Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. pp. 63–67. ISBN 0-13-914101-4. 
  • Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.