ルベーグの分解定理

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数学測度論の分野における ルベーグの分解定理(ルベーグのぶんかいていり、: Lebesgue's decomposition theorem[1][2][3]とは、ある可測空間 (\Omega,\Sigma) 上のすべての二つのσ-有限英語版符号付測度 \mu および \nu に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 \nu_0 および \nu_1 が存在することを述べた定理である。

これら二つの測度は、\mu および \nu によって一意的に定められる。

改良[編集]

ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度特異部の分解は、次のように改良できる[4]

\, \nu = \nu_{\mathrm{cont}} + \nu_{\mathrm{sing}} + \nu_{\mathrm{pp}}

但し

  • νcont絶対連続(absolutely continuous)な部分
  • νsing特異連続(singular continuous)な部分
  • νpp純点(pure point)の部分(離散測度

つづいて、絶対連続測度はラドン=ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって(特異連続測度はさておき)ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度実数直線上の確率測度累積分布関数カントール関数であるようなもの)は特異連続測度の一例である。

関連する概念[編集]

レヴィ=伊藤分解[編集]

確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ=伊藤分解がある。あるレヴィ過程英語版 X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)} に分解される。

関連項目[編集]

引用[編集]

  1. ^ (Halmos 1974, Section 32, Theorem C)
  2. ^ (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.42) Lebesque Decomposition Theorem)
  3. ^ (Rudin 1974, Section 6.9, The Theorem of Lebesgue-Radon-Nikodym)
  4. ^ (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.61) Theorem)

参考文献[編集]

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Lebesgue decomposition theoremの本文を含む