ルジャンドルの微分方程式

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ルジャンドルの微分方程式(るじゃんどるのびぶんほうていしき)とは、アドリアン=マリ・ルジャンドルにその名をちなむ、以下の形の常微分方程式の事である。

\frac{d}{dx} \left[ \left( 1 - x^2 \right) y' \right] + \nu (\nu + 1) y = 0

これはガウスの微分方程式において、α = ν + 1, β = -ν, γ = 1 と選び、x → (1-x)/2 と置き換えた場合と同じである。

この解は偶関数奇関数になる事が知られていて、それぞれ以下のようになる。

  • y_e(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{2^{2n}}{(2n)!} \left( -\frac{\nu}{2} \right)_n \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)_n x^{2n}
  • y_o(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{2^{2n}}{(2n+1)!} \left( \frac{1 - \nu}{2} \right)_n \left( 1 + \frac{\nu}{2} \right)_n x^{2n + 1}

また特別なケースとして ν = 0, 1, 2, ... の場合に解は ν 次多項式となる。この多項式のことをルジャンドルの多項式と呼ぶ。

関連項目[編集]