チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、英: Chebyshev's inequality）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。

標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の $n$ 倍以上離れた値は全体の $1/ n 2$ 以下である。

歴史[編集]

この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméである^[1]^:98。

この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明され^[2]、後の1867年にチェビシェフによってより一般的な形で証明された^[3]^[4]。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えた^[5]。

一般的表現[編集]

この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。

測度論的表現[編集]

$(X, Σ, μ)$ を測度空間、 $f$ を $X$ 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 $t > 0$ に対して

\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu

となる。より一般的には、 $g$ が非負実数値可測関数で、 $f$ の範囲で減少しないとすれば、

\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu

となる。最初の式は、ここで $g (t)$ を

g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if}}~~~t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

で定義し、 $f$ の代わりに $| f |$ を用いれば導かれる。

確率論的表現[編集]

$X$ を、期待値が $μ$ , 有限の分散が $σ 2$ である確率変数とすると、任意の実数 $k > 0$ に対して

\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}

ただし $k > 1$ の場合にだけ意味がある。

余事象について、こうなる。

\Pr(\left|X-\mu \right|<k\sigma )>1-{\frac {1}{k^{2}}}

例として、 $k = \sqrt 2$ を使えば、少なくとも半数の値は区間 $(μ - \sqrt 2 σ,$ $μ + \sqrt 2 σ)$ 内に存在することが分かる。

チェビシェフの不等式は大数の法則（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。

例[編集]

分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 ( $μ$ ) が 1000 文字であって、標準偏差 ( $σ$ ) が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。

長さが 717 から 1282 文字の文章の割合は少なくとも 50% である（ $k = \sqrt 2$ の場合）。
長さが 600 から 1400 文字の文章の割合は少なくとも 75% である（ $k = 2$ の場合）。
長さが 400 から 1600 文字の文章の割合は少なくとも 88% である（ $k = 3$ の場合）。
長さが 200 から 1800 文字の文章の割合は少なくとも 93% である（ $k = 4$ の場合）。
長さが 2000 文字以下の文章の割合は少なくとも 96% である（ $k = 5$ の場合）。

もし文章の長さが正規分布に従っているなら、次がいえる。

長さが 770 から 1230 文字の文章 $(μ - 1.15 σ,$ $μ + 1.15 σ)$ の割合は 75% である。
長さが 717 から 1282 文字の文章 $(μ - \sqrt 2 σ,$ $μ + \sqrt 2 σ)$ の割合は 84% である。
長さが 600 から 1400 文字の文章 $(μ - 2 σ,$ $μ + 2 σ)$ の割合は 95% である。

証明[編集]

測度論的な証明[編集]

$A t$ を $A t = {x \in X | f (x) \geq t$ } で定義すると

g(t)\leq g\circ f(x)

がすべての $x\in A_{t}$ に対して成り立つことより、

g(t)\mu (A_{t})=\int _{A_{t}}g(t)\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu

となる。上の不等式を $g (t)$ で割れば、目的の不等式が得られる。

確率論的な証明[編集]

任意の実数確率変数 $Y$ と任意の正の実数 $a$ に対して、マルコフの不等式から $Pr(| Y | > a) \leq E(| Y |)/ a$ が得られる。この不等式に $Y = (X - μ) 2$ , $a = (σk) 2$ を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。

また直接証明する方法もある。事象 $A$ に対し $I A$ が $A$ の指示関数に従う確率変数である（つまり $I A$ は $A$ が起これば $1$ 、そうでなければ $0$ ）とする。すると

\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})

$\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}$ と証明される。

出典　[編集]

^ Donald Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Volume 1 (3rd ed.). Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1 2012年10月1日閲覧。
^ I.-J. Bienaymé (1853). “Considérations àl'appui de la découverte de Laplace”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 37: 309–324.
^ P. Tchebichef (1867). “Des valeurs moyennes”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2 12: 177–184.
^ Routledge, Richard. Chebyshev’s inequality. Encyclopedia Britannica
^ Markov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg.