シングマスター予想

数学の未解決問題

1以外の任意の自然数について、パスカルの三角形に現れる回数がN未満となるような定数Nは存在するか？

シングマスター予想 (シングマスターよそう、英: Singmaster's conjecture) は、「パスカルの三角形において1以外の数字の出現回数には上限が存在する」という組み合わせ数学の予想である。名前の由来は1971年にこの予想を提唱したイギリスの数学者デヴィッド・シングマスターに由来する。

1より大きい任意の整数 n について、この数はパスカルの三角形において上から n + 1 行までにしか出現しないため、1より大きい数の出現が有限であることは明らかである。シングマスター予想は、この出現回数がある有限の数を越えないことを主張している。

なお、1は明らかにパスカルの三角形において無限回出現し、上記の事実から1はパスカルの三角形で無限回出現する唯一の数である。

主張

整数 a > 1 に対して、N(a) をパスカルの三角形における a の出現回数とする。 シングマスター予想の主張は、ある (a に依存しない) 有限の数 M が存在して N(a) < M が成り立つことである。

ランダウのOを用いると、予想の主張は以下の通りになる。

$N(a)=O(1)$

既知の上限

パスカルの三角形における出現数 N(a) について、以下のことがすでに知られている。

• (Singmaster 1971)
  $$N(a)=O(\log a)$$
  すなわち、ある係数 K が存在して、十分大きな a について ${\textstyle N(a)<K\log a}$ が成り立つ。
• (Abbott, Erdős & Hanson 1974, Theorem 3)
  $$N(a)=O\left({\frac {\log a}{\log \log a}}\right)$$
• (Kane 2007)
  $$N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}}\right)$$
• (Matomäki et al. 2022, Theorem 1.3) ${\textstyle 0<\varepsilon <1}$ に対して、十分大きい a を取る (このとき a は ε に依存して取る)。このとき、${\textstyle {\tbinom {n}{m}}=a}$ を満たす (n, m) の組は、次の不等式で制限される範囲内には高々4個しか存在しない。
  $$\exp \left(\log(n)^{{\tfrac {2}{3}}+\varepsilon }\right)\leq m\leq n-\exp \left(\log(n)^{{\tfrac {2}{3}}+\varepsilon }\right)$$
• (Abbott, Erdős & Hanson 1974, p. 259) 「x が十分大きいとき、x と x + (log x)² の間に素数が存在する」というクラメールの予想を仮定すると、任意の ${\textstyle \varepsilon >0}$ について
  $$N(a)=O\left(\log(a)^{{\tfrac {2}{3}}+\varepsilon }\right)$$

シングマスターの無限族

シングマスターは、n と k に関するディオファントス方程式

$${n+1 \choose k+1}={n \choose k+2}$$

について、これが無限に多くの解を持つことを証明した。この方程式の解は、非負整数 i を用いて次のように表される。

$${\begin{aligned}n&=F_{2i+2}F_{2i+3}-1\\k&=F_{2i}F_{2i+3}-1\end{aligned}}$$

ここで F_j は j 番目のフィボナッチ数 (F₀ = 0, F₁ = 1) である。

このとき、等しくなる両辺の値を a とおくと、

$$a={\binom {a}{1}}={\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k+2}}={\binom {n}{n-k-2}}={\binom {n+1}{n-k}}={\binom {a}{a-1}}$$

となり、パスカルの三角形に (少なくとも) 6回登場する数の族を得る。これをシングマスターの無限族と呼ぶ。

例

• 2 は1回だけ現れる。それより大きい整数は2回以上現れる。
• 3, 4, 5 はそれぞれ2回現れる。ちょうど2個現れる整数は無限にある。
• 全ての奇素数は2回現れる。
• 6 は3回現れる。3回現れる整数も無限個ある。
• ${p \choose 2}$ (pは、 $p>3$ を満たす素数)の形で表せる数は4回現れる。
• 以下の例のようにちょうど6回現れる数も無限にある。
  $$120={120 \choose 1}={120 \choose 119}={16 \choose 2}={16 \choose 14}={10 \choose 3}={10 \choose 7}$$
  $$210={210 \choose 1}={210 \choose 209}={21 \choose 2}={21 \choose 19}={10 \choose 4}={10 \choose 6}$$
  $$1540={1540 \choose 1}={1540 \choose 1539}={56 \choose 2}={56 \choose 54}={22 \choose 3}={22 \choose 19}$$
  $$7140={7140 \choose 1}={7140 \choose 7139}={120 \choose 2}={120 \choose 118}={36 \choose 3}={36 \choose 33}$$
  $$11628={11628 \choose 1}={11628 \choose 11627}={153 \choose 2}={153 \choose 151}={19 \choose 5}={19 \choose 14}$$
  $$24310={24310 \choose 1}={24310 \choose 24309}={221 \choose 2}={221 \choose 219}={17 \choose 8}={17 \choose 9}$$

• 3003は8回現れる最小かつ現在唯一知られている数である。
  $$3003={3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}={14 \choose 8}={15 \choose 10}={78 \choose 76}={3003 \choose 3002}$$
  3003はシングマスターの無限族によって求められる数でもある。シングマスターの無限族における次の数は ${\textstyle a_{3}=61218182743304701891431482520}$ である (OEIS: A090162)。
  $$a_{3}={a_{3} \choose 1}={a_{3} \choose a_{3}-1}={104 \choose 39}={104 \choose 65}={103 \choose 40}={103 \choose 63}$$
• Benjamin　M. M. de Wegerは、上記の120、210、1540、7140、11628、24310およびシングマスターの無限族以外にパスカルの三角形で5回以上出現する数は存在しないと予想している。

• n がパスカルの三角形に現れる回数は、

∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... オンライン整数列大辞典の数列 A003016

• Abbott, Erdős, and Hanson (1974)は、 x 以下のパスカルの三角形に3回以上現れる整数の数は、O(x^1/2)であることを示した。

未解決問題

9回以上現れる数、3003以外の8回現れる数が存在するかどうかは知られていない。上限は8と予想できるが、シングマスターは10または12と予想していた。

また、5回または7回現れる数が存在するかどうかも未解決である。関連する数列 オンライン整数列大辞典の数列 A003015 において等式N(a) = 5 をみたす aがあるかどうかわからないことが言及されている。

参考文献

• Singmaster, D. (1971), “Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient?”, American Mathematical Monthly 78 (4): 385–386, doi:10.2307/2316907, JSTOR 2316907, MR1536288, https://jstor.org/stable/2316907 .
• Singmaster, D. (1975), “Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers”, Fibonacci Quarterly 13 (4): 295–298, MR0412095, http://www.fq.math.ca/Scanned/13-4/singmaster.pdf .
• Abbott, H. L.; Erdős, P.; Hanson, D. (1974), “On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient”, American Mathematical Monthly 81 (3): 256–261, doi:10.2307/2319526, JSTOR 2319526, MR0335283, https://jstor.org/stable/2319526 .
• Kane, Daniel M. (2007), “Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient” (PDF), INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 7 (A53), MR2373115, http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h53/h53.pdf .
• Matomäki, Kaisa; Radsiwiłł, Maksym; Shao, Xuancheng; Tao, Terence; Teräväinen, Joni (2022). “Singmaster's Conjecture in the Interior of Pascal's Triangle”. The Quarterly Journal of Mathematics 73 (3): 1137–1177. arXiv:2106.03335. doi:10.1093/qmath/haac006. 

関連項目

• 二項係数
• パスカルの三角形