コンパクト群

複素平面において中心が 0 で半径が 1 の円周は複素数の乗法についてコンパクトリー群である．

数学において，コンパクト（位相）群とは位相がコンパクトな位相群である．コンパクト群は離散位相をいれた有限群の自然な一般化であり，重要な性質が持ち越される．コンパクト群は群作用と表現論に関してよく理解された理論を持つ．

以下では常に群はハウスドルフと仮定する．

コンパクトリー群

リー群は位相群の非常に良いクラスをなし，コンパクトリー群は特によく発展した理論を持つ．コンパクトリー群の基本的な例には以下がある：

• 円周群 T とトーラス群 Tⁿ,
• 直交群 O(n), 特殊直交群 SO(n) とその被覆スピン群 Spin(n),
• ユニタリ群 U(n) と特殊ユニタリ群 SU(n),
• シンプレクティック群 Sp(n),
• 例外型リー群 G₂, F₄, E₆，E₇，E₈ のコンパクト形．

コンパクトリー群の分類定理は有限拡大と有限被覆の違いを除いてこれらが例の全てを尽くしている（すでにいくらか重複がある）と述べている．

分類

任意のコンパクトリー群 G が与えられたとき，その単位元成分 G₀ を取ることができ，それは連結である．商群 G/G₀ は group of components π₀(G) であり，これは G がコンパクトだから有限でなければならない．したがって有限拡大

$1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1\,$

がある．さてすべてのコンパクト連結リー群 G₀ は有限被覆

$1\to A\to {\tilde {G}}_{0}\to G_{0}\to 1\,$

を持つ，ただし $A\subset Z({\tilde {G}}_{0})$ は有限アーベル群であり，${\tilde {G_{0}}}$ はトーラスとコンパクト連結単連結リー群 K の積である：

${\tilde {G}}_{0}\cong \mathbb {T} ^{m}\times K.$

最後に，すべてのコンパクト連結単連結リー群 K はコンパクト連結単連結単純リー群 K_i であってそれぞれが以下のいずれかただ1つと同型であるようなものの積である：

• Sp(n), n ≥ 1
• SU(n), n ≥ 3
• Spin(n), n ≥ 7
• G₂, F₄, E₆，E₇，E₈

関連項目

• 局所コンパクト群
• p-コンパクト群
• protorus

参考文献

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-40122-9 
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), The structure of compact groups, Berlin: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1