ランダウ＝リフシッツ方程式

個体物理学において、ランダウ＝リフシッツ方程式(Landau–Lifshitz equation)(LLE)は、レフ・ランダウ(Lev Landau)とエフゲニー・リフシッツ(Evgeny Lifshitz)に因み命名され、一つの時間変数と 3つ空間変数に依存する個体柱の磁性の時間発展を記述する偏微分方程式である。

ランダウ＝リフシッツ方程式

ランダウ＝リフシッツ方程式は、異方的な磁性を記述する。この方程式は (Faddeev & Takhtajan 2007, chapter 8) で、次のように記述されている。この方程式は、ベクトル場 S に対する方程式、つまり、R³ に値を持つ R¹⁺ⁿ 上の函数であり、通常は[[対角行列]対角化された]]ある固定した対称な 3 × 3 行列 $J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})$ に依存する。J はハミルトニアンの運動方程式により与えられる。

$H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)$

（J(S) はベクトル S へ適用された J の二次形式である）ここに、

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (2)$

(1+1) 次元では、この方程式は、

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (3)$

である。

(2+1) 次元では、この方程式は次の形となる。

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \ .\qquad (4)$

(3+1)-次元の場合は、LLE は次の形となる。

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)/.$

可積分縮退

一般の場合、LLE (2) は可積分ではない。しかし 2つの可積分な縮退がある。

a) 1+1 次元の場合には、方程式 (3) が可積分である。

b) $J=0$ の場合は、(1+1)-次元 LLE (3) は連続古典ハイゼンベルク強磁性方程式(continuous classical Heisenberg ferromagnet equation)である。(既に、可積分である古典ハイゼンベルクモデルを参照）

関連項目

• 非線形シュレディンガー方程式
• 古典ハイゼンベルクモデル
• スピン波
• マイクロ磁性(Micromagnetism)
• 石森方程式(Ishimori equation)
• 磁石
• 強磁性

参考文献

• Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), Hamiltonian methods in the theory of solitons, Classics in Mathematics, Berlin: Springer, pp. x+592, ISBN 978-3-540-69843-2, MR2348643 
• Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Landau-Lifshitz Equations, Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8 
• Kosevich A.M., Ivanov B.A., Kovalev A.S. Nonlinear magnetization waves. Dynamical and topological solitons. – Kiev: Naukova Dumka, 1988. – 192 p.