岩澤理論の主予想

数学では、岩澤理論の主予想(main conjecture of Iwasawa theory)は、p-進L-函数と円分体のイデアル類群との間の深い関係であり、Iwasawa (1969) でクンマー・ヴァンディヴァー予想(Kummer–Vandiver conjecture)を満たす素数に対して証明され、すべての素数に対してはMazur and Wiles (1984)により証明された。エルブラン・リベの定理(Herbrand–Ribet theorem)とグラス予想(Gras conjecture)が両方ともこの主予想より容易に導ける結果である。

この主予想にはいくつかの一般化があり、総実体(totally real field)やCM体や、楕円曲線などへ一般化される。

動機

有限体上の代数曲線のゼータ函数のヴェイユによるヤコビ多様体上のフロベニウス自己準同型の固有値の項による記述の類似に、Iwasawa (1969)は、部分的には動機を持っている。

• フロベニウス自己準同型の作用は、群 Γ の作用に対応している。
• 曲線のヤコビ多様体は、イデアル類群の項で定義された Γ 上の加群 X に対応する。
• 有限体上の代数曲線のゼータ函数は、p-進L-函数に対応する。
• フロベニウス自己準同型を代数曲線のゼータ函数の零点に関連付けるヴェイユの定理は、X 上の岩澤代数の作用を p-進ゼータ函数の零点へ関連付ける岩澤主予想と対応する。

歴史

岩澤理論の主予想は、p-進L-関数の定義の二つの方法（加群論によるものと、補完法によるもの）が、well-definedである限りは、一致しているという形で定式化された。これはMazur & Wiles (1984) により Q に対し証明され、すべての総実体(totally real number field)に対しては Wiles (1990)により証明された。これらの証明は、エルブランの定理（エルブラン・リベの定理(Herbrand–Ribet theorem)）の逆を証明したケン・リベ(Ken Ribet)の証明をモデルとしている。

カール・ルービン(Karl Rubin)は、メイザー・ワイルズの定理のより初等的な証明を見つけた。この証明は、コリヴァギン(Kolyvagin)のオイラー系(Euler system)を使いLang (1990) と Washington (1997) で記述されており、後日、虚二次体の主予想の別の一般化を証明した。

ステートメント

• p は素数である。
• F_n は体 Q(ζ) であり、ここに ζ は位数 pⁿ⁺¹ の単数の根である。
• Γ は F_∞ の絶対ガロア群の部分群であり、p-進整数に同型である。
• γ は Γ の位相的な生成子である。
• L_n は、F_n の p-ヒルベルト類体である。
• H_n はガロア群 Gal(L_n/F_n) であり、その位数が p のべきであるような F_n のイデアル類群の元で構成される部分群に同型である。
• H_∞ はガロア群 H_n の逆極限である。
• V はベクトル空間 H_∞⊗_ZpQ_p である。
• ω はタイヒニューラー指標(Teichmüller character)である。
• Vⁱ は、V の ωⁱ 固有空間である。
• h(ωⁱ,T) は、ベクトル空間 Vⁱ 上に作用する γ の特性多項式である。
• L_p は、B を一般ベルヌイ数(generalized Bernoulli number)としたとき、L_p(ωⁱ,1–k) = –B_k(ω^i–k)/k であるp-進L-函数である。
• G_p は、G_p(ωⁱ,u^s–1) = L_p(ωⁱ,s) のべき級数である。

岩澤理論の主予想は、メイザーとワイルズによる証明され、i を mod p - 1 で 1 と合同でない奇数とすると、h_p(ωⁱ,T) で生成された Z_p[[T]] のイデアルと、G_p(ω^1–i,T) は等しい。

参考文献

• Coates, John; Sujatha, R. (2006), Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-33068-2, Zbl 1100.11002 
• Iwasawa, Kenkichi (1964), “On some modules in the theory of cyclotomic fields”, Journal of the Mathematical Society of Japan 16: 42–82, doi:10.4099/jmath.16.42, ISSN 0025-5645, MR0215811 
• Iwasawa, Kenkichi (1969), “Analogies between number fields and function fields”, Some Recent Advances in the Basic Sciences, Vol. 2 (Proc. Annual Sci. Conf., Belfer Grad. School Sci., Yeshiva Univ., New York, 1965-1966), Belfer Graduate School of Science, Yeshiva Univ., New York, pp. 203–208, MR0255510 
• Iwasawa, Kenkichi (1969b), “On p-adic L-functions”, Annals of Mathematics. Second Series 89: 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR0269627, https://jstor.org/stable/1970817 
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007), Introduction to Modern Number Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 49 (Second ed.), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396, Zbl 1079.11002 
• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), “Class fields of abelian extensions of Q”, Inventiones Mathematicae 76 (2): 179–330, doi:10.1007/BF01388599, ISSN 0020-9910, MR742853 
• Wiles, Andrew (1990), “The Iwasawa conjecture for totally real fields”, Annals of Mathematics. Second Series 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468, ISSN 0003-486X, MR1053488, http://dx.doi.org/10.2307/1971468