ファルティングスの定理

数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。

背景

C を Q 上の種数 g の非特異(non-singular)代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。

• g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面である。
• g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群(finitely generated abelian group)。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell–Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理(Mazur's torsion theorem)は捩れ部分群の構造を制限している。）
• g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。

証明

ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデル(Néron model)の理論を含む代数幾何学の多くのツールを使うことであった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ(Paul Vojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(Enrico Bombieri)により与えられた。

結論

1983年のファルティングスの論文は、それ以前に予想されていた多くのステートメントの結果として得られた。

• モーデル予想(Mordell conjecture)：数体上の種数が 1 よりも大きな曲線は有限個の有理点しか持たない。
• シャファレビッチ予想(Shafarevich conjecture)：決められた次元の、決められた数体上の偏極次数を持ち、決められた有限個の座(place)の有限集合の外側では良いリダクション(good reduction)を持つアーベル多様体の同型類は、有限個しか存在しない。
• 同種定理(Isogeny theorem)：同型なテイト加群(Tate module)を（ガロア作用、Q_l-加群として）もつアーベル多様体は同種である。

モーデルの予想をシャファレビッチ予想へ帰着させることは、Parshin (1971) による。ファルティングスの定理の応用の例として、フェルマーの最終定理の弱い形がある。決められた n > 4 に対し、aⁿ + bⁿ = cⁿ には有限個の整数解しか存在しない。なぜなら、n に対し、曲線 xⁿ + yⁿ = 1 は種数が 1 よりも大きいからである。

一般化

モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想(Mordell–Lang conjecture)を証明することになる。

ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想(Bombieri–Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体(pseudo-canonical variety)（すなわち、一般型の多様体）であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ(Paul Vojta)により提示されている。

函数体のモーデル予想は、Manin (1963) と Grauert (1965) により証明された。Coleman (1990) はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。

参考文献

• Bombieri, Enrico (1990). “The Mordell conjecture revisited”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4): 615–640. 
• Coleman, Robert F. (1990). “Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields”. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584. MR1096426. http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001:1990:36::560&id=&id2=&id3= 
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Arithmetic geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-96311-1  → Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). “Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”. Inventiones Mathematicae 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. 
• Grauert, Hans (1965). “Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper”. Publications Mathématiques de l'IHÉS (25): 131–149. ISSN 1618-1913. MR0222087. http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine geometry. Graduate Texts in Mathematics. 201. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98981-1  → Gives Vojta's proof of Falting's Theorem.
• S. Lang (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag. pp. 101–122. ISBN 3-540-61223-8 
• Manin, Ju. I. (1963). “Rational points on algebraic curves over function fields”. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 27: 1395–1440. ISSN 0373-2436. MR0157971. http://mi.mathnet.ru/eng/izv3174 
• Mordell, Louis J. (1922). “On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179–192 
• Paršin, A. N. (1971). “Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne”. Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1. Gauthier-Villars. pp. 467–471 
• Parshin, A. N. (2001), “ファルティングスの定理”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/M/m064910.htm