パンルヴェ方程式

数学においてパンルベ方程式（パンルベほうていしき、Painlevé equations）は、（動く特異点が極であるという）パンルベ性 (Painlevé property) を備えた特定の種類の二階非線型複素常微分方程式である。パンルベ方程式は一般には初等函数の範囲で解くことはできず、パンルベ方程式の解としてパンルベ超越函数 (Painlevé transcendents) と呼ばれる複素変数の特殊函数が定義される。名の由来は後にフランス首相の座に就くポール・パンルヴェの著した論文 (Paul Painlevé 1900, 1902) から。

歴史

パンルベ超越函数の起源は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊函数の研究および、線型微分方程式の等モノドロミー変形の研究にある。たとえば楕円函数などは特殊函数のクラスのなかでも特に有用なものの一つである。パンルベ超越函数は、方程式の特異点がパンルベ性を満たす二階常微分方程式の解として定められる。ここで、パンルベ性とは「動く特異点は極に限る」というものである。線型常微分方程式はつねにパンルベ性を持つが、非線型方程式でパンルベ性を持つものは稀である。ポワンカレとフックスはパンルベ性を持つ一階方程式が、必ずワイエルストラス方程式かリッカチ方程式に変形できることを示した（これらの方程式は求積法と既知の特殊函数によって明示的に解ける）。エミール・ピカールは一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルベ性をもつ新たな例を探ろうとして失敗に終わっている（二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る）。1900年頃、ポール・パンルベは動く特異点を持たない二階微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理函数 R を用いて

$y''=R(y',y,t)$

の形に表されるものは、適当な変形を加える違いを除いて50個の「標準形」に直すことができることを発見した（一覧表が (Ince 1956) にある）。さらに Painlevé (1900, 1902) では、先の50の「標準形」のうちの44個は既知の函数を用いて解けるという意味で削減できることが判明し、解として新たな特殊函数の導入を必要とする方程式として残ったのはわずかに6個であった（実はパンルベの成果にはいくつか計算間違いがあり、のちに弟子のガンビエとフックスによって修正されている）。以後長らくの間、これら6個の方程式が一般の値のパラメータに対してこれ以上簡約不能であるか（特殊な値のパラメータについては、方程式が簡約化されてしまう場合もある。後述）ということが物議を醸す未解決問題であったが、最終的には Nishioka (1988) および Hiroshi Umemura (1989) によって解決を見た。これら6つの非線型二階方程式はパンルベ方程式と呼ばれ、それらの解はパンルベ超越函数と呼ばれる。

パンルベが見逃していた最も一般の形の第六方程式は、1905年に（ラザラス・フックスの息子）リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P¹ 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。これは Gambier (1910) でパンルベ方程式のリストに加えられている。

Chazy (1910, 1911) ではパンルベの成果をより高階の方程式に対して拡張する試みがなされ、パンルベ性を満たす三階方程式がいくつか発見されている。

パンルベ方程式の分類

These six equations, traditionally called Painlevé I-VI, are as follows:

• I (Painlevé):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t$

• II (Painlevé):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha$

• III (Painlevé):

  $ty{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=t\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-y{\frac {dy}{dt}}+\delta t+\beta y+\alpha y^{3}+\gamma ty^{4}$

• IV (Gambier):

  $y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\beta +2(t^{2}-\alpha )y^{2}+4ty^{3}+{\tfrac {3}{2}}y^{4}$

• V (Gambier):

  ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}\\\end{aligned}}$

• VI (R. Fuchs):

  ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left(\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

The numbers α, β, γ, δ are complex constants. By rescaling y and t one can choose two of the parameters for type III, and one of the parameters for type V, so these types really have only 2 and 3 independent parameters.

特異点

The possible singularities of these equations are

• Movable poles
• The point ∞
• The point 0 for types III, V and VI
• The point 1 for type VI

For type I, the singularities are (movable) double poles or residue 0, and the solutions all have an infinite number of such poles in the complex plane. The functions with a double pole at z₀ have the Laurent series expansion

$(z-z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z-z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0})^{6}+\cdots$

converging in some neighborhood of z₀ (where h is some complex number). The location of the poles was described in detail by (Boutroux 1913, 1914). The number of poles in a ball of radius R grows roughly like a constant times R^5/2.

For type II, the singularities are all (movable) simple poles.

パンルベ系の退化の系列

パンルベ I から V まではパンルベ VI の退化した場合になっている。もう少し詳しくは、以下の図式の如くだが、この図式は対応するガウスの超幾何函数の退化の系列をも与えている。

				III Bessel
			$\nearrow$		$\searrow$
VI Gauss	→	V Kummer				II Airy	→	I None
			$\searrow$		$\nearrow$
				IV Hermite-Weber

ハミルトン系

パンルベ方程式は何れもハミルトン系として表現することができる。

例:

$q=y,\quad p=y'+y^{2}+t/2$

とおくと、パンルベ II 方程式

$y''=2y^{3}+ty+b-1/2$

はハミルトニアン

$\displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq$

に対するハミルトン系

$q'={\frac {\partial H}{\partial p}}=p-q^{2}-t/2$

$p'=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b$

に同値である。

パンルベ系の対称性

ベックルント変換は独立変数・従属変数を変換して、微分方程式を相似な微分方程式に変換するものだが、パンルベ方程式は何れもベックルント変換からなる離散群の作用を持ち、ベックルント変換によりパンルベ方程式の既知の解から別の新しい解を得ることができる。

パンルベ I の例

The set of solutions of the type I Painlevé equation

$y^{\prime \prime }=6y^{2}+t$

is acted on by the order 5 symmetry y→ζ³y, t→ζt where ζ is a fifth root of 1. There are two solutions invariant under this transformation, one with a pole of order 2 at 0, and the other with a zero of order 3 at 0.

パンルベ II の例

In the Hamiltonian formalism of the type II Painlevé equation

$\displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2$

with

$\displaystyle q=y,p=y^{\prime }+y^{2}+t/2$

two Bäcklund transformations are given by

$\displaystyle (q,p,b)\rightarrow (q+b/p,p,-b)$

and

$\displaystyle (q,p,b)\rightarrow (-q,-p+2q^{2}+t,1-b).$

These both have order 2, and generate an infinite dihedral group of Bäcklund transformations (which is in fact the affine Weyl group of A₁; see below). If b=1/2 then the equation has the solution y=0; applying the Bäcklund transformations generates an infinite family of rational functions that are solutions, such as y=1/t, y=2(t³−2)/t(t³−4), ...

Okamoto discovered that the parameter space of each Painlevé equation can be identified with the Cartan subalgebra of a semisimple Lie algebra, such that actions of the affine Weyl group lift to Bäcklund transformations of the equations. The Lie algebras for P_I, P_II, P_III, P_IV, P_V, P_VI are 0, A₁, A₁⊕A₁, A₂, A₃, and D₄,

他分野との関係

求積可能な偏微分方程式系はすべてパンルベ方程式に帰着できる（(M. J. Ablowitz & P. A. Clarkson 1991)を見よ）。

自己双対ヤン-ミルズ方程式はすべてパンルベ方程式に帰着される。

パンルベ方程式は、非対称単純排他過程、二次元イジング模型、トレイシー・ウィドム分布の定式化におけるランダム行列理論や、二次元の量子重力論などにも現れる。

参考文献

• Ablowitz, M. (2001), “Painlevé-type equations”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/p110040.htm 
• Ablowitz, M. J.; Clarkson, P. A. (1991), Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, London Mathematical Society Lecture Note Series, 149, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38730-9, MR1149378 
• Chazy, J. (1910), “Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possede un coupure essentielle mobile”, C.R. Acad. Sci. (Paris) 150: 456–458 
• Chazy, J. (1911), “Sur les équations différentielles de troisième ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixés”, Acta Math. 33: 317–385, doi:10.1007/BF02393131 
• Clarkson, P. A. (2010), “パンルヴェ方程式”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/32 
• Robert Conte ed. (1999), Conte, Robert, ed., The Painlevé property, CRM Series in Mathematical Physics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98888-7, MR1713574 
• Davis, Harold T. (1962), Introduction to Nonlinear Integral and Differential Equations, New York: Dover, ISBN 0-486-60971-5  See sections 7.3, chapter 8, and the Appendices
• Fokas, Athanassios S.; Its, Alexander R.; Kapaev, Andrei A.; Novokshenov, Victor Yu. (2006), Painlevé transcendents: The Riemann–Hilbert approach, Mathematical Surveys and Monographs, 128, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3651-4, MR2264522 
• Gambier, B. (1910), “Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critique fixés”, Acta. Math. 33: 1–55, doi:10.1007/BF02393211 .
• Gromak, Valerii I.; Laine, Ilpo; Shimomura, Shun (2002), Painlevé differential equations in the complex plane, de Gruyter Studies in Mathematics, 28, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-017379-6, MR1960811 
• Ince, Edward L. (1956), Ordinary Differential Equations, Dover, ISBN 0486603490 
• Iwasaki, Katsunori; Kimura, Hironobu; Shimomura, Shun; Yoshida, Masaaki (1991), From Gauss to Painlevé, Aspects of Mathematics, E16, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, ISBN 978-3-528-06355-9, MR1118604 
• Nishioka, Keiji (1988), “A note on the transcendency of Painlevé's first transcendent”, Nagoya Mathematical Journal 109: 63–67, ISSN 0027-7630, MR931951 
• Noumi, Masatoshi (2004), Painlevé equations through symmetry, Translations of Mathematical Monographs, 223, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3221-9, MR2044201 
• Noumi, Masatoshi; Yamada, Yasuhiko (2004), “Symmetries in Painlevé equations”, Sugaku Expositions 17 (2): 203–218, ISSN 0898-9583, MR1816984 
• Painlevé, P. (1900), “Memoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme”, Bull. Soc. Math. Phys. France 28: 201–261 
• Painlevé, P. (1902), “Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme”, Acta Math. 25: 1–85, doi:10.1007/BF02419020 
• Rozov, N.Kh. (2001), “Painlevé equation”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/P/p071080.htm 
• Umemura, Hiroshi (1989), “On the irreducibility of Painlevé differential equations”, Sugaku Expositions 2 (2): 231–252, MR944888 
• Umemura, Hiroshi (1998), “Painlevé equations and classical functions”, Sugaku Expositions 11 (1): 77–100, ISSN 0898-9583, MR1365704 

外部リンク

• Kanehisa Takasaki Painlevé Equations
• Weisstein, Eric W. "Painleve Transcendents". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Painleve Property". mathworld.wolfram.com (英語).

関連項目

• ガルニエ系