実効値

実効値（じっこうち）(effective fvalue)は、抵抗負荷に供給したときに直流と同じ平均電力を発生するときを同じ数値とする、交流電圧又は電流の値の表現方法である。交流電力の計算に使用される電圧・電流は、普通は実効値で表されている。

電気抵抗成分をR、加える電圧の瞬時値をv(t)・最高値をV_m・実効値をV_e・平均値をV_av、流れる電流の瞬時値をi(t)・最高値をI_m・実効値をI_e・平均値をI_av、有効電力のを瞬時値をP(t)・平均値をP_R、交流の角振動数をω・周期をTとする。

正弦波の場合の最高値との関係

有効電力の平均値は、電流と電圧の積の平均であるから電気抵抗と電流を使うと次のようになる。

$i(t)=I_{m}\sin \omega t$

$v(t)=RI_{m}\sin \omega t$

$P(t)=RI(t)^{2}=RI_{m}^{2}\sin ^{2}\omega t=RI_{m}^{2}{\frac {1}{2}}\left(1-\cos 2\omega t\right)$

周期関数であるので、1周期にわたって積分し周期Tで割り平均電力を求める。

$P_{R}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}RI_{m}^{2}{\frac {1}{2}}\left(1-\cos 2\omega t\right)dt={\frac {RI_{m}^{2}}{2T}}\left[t-{\frac {1}{2\omega }}\sin 2\omega t\right]_{0}^{T}$

第二項は、ωT = 2πであるので、積分すると0となるので次のようになる。

$P_{R}=R\left({\frac {I_{m}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$

また、電圧で表すと次のようになる。

$P_{R}={\frac {1}{R}}\left({\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$

よって、実効値と最大値の関係は次のようになる。

$V_{e}=V_{m}/{\sqrt {2}}$

$I_{e}=I_{m}/{\sqrt {2}}$

また、最大値/実効値を波高率という。

正弦波の場合の平均値との関係

電流と電圧の平均は、周期関数であるので、半周期にわたって積分し半周期T/2で割り平均を求める。

$V_{av}={\frac {2V_{m}}{T}}\int _{0}^{T/2}\sin \omega tdt={\frac {2V_{m}}{\omega T}}\left[-\cos \omega t\right]_{0}^{T/2}$

ωT/2 = πであるので、次のようになる。

$V_{av}={\frac {2V_{m}}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}V_{e}}{\pi }}$

また、電流は次のようになる。

$I_{av}={\frac {2I_{m}}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}I_{e}}{\pi }}$

また、実効値/平均値を波形率という。

関連項目

• 平均値
• 交流 / 三相交流 - 単相交流 - 交流回路
• 電力 : 有効電力・無効電力・皮相電力は、こちらを参照。
• 電圧 - 電流