固有状態

量子力学において、ある物理量 A の「固有状態」とは、その物理量（オブザーバブル）を表すエルミート演算子 ${\hat {A}}$ の固有ベクトル $\{|a_{1}\rangle ,|a_{2}\rangle ,\ldots \}\$ のことである。

よって物理量 A の固有状態 $\{|a_{1}\rangle ,|a_{2}\rangle ,\ldots \}\$ は以下の固有値方程式を満たす。

${\hat {A}}|a_{n}\rangle =a_{n}|a_{n}\rangle \quad (n=1,2,\ldots ).$

一般に、量子系について物理量の測定を行った時、どんなに同じように状態を用意して同じように測定をしても、測定値は測定によってバラバラである。しかし系が${\hat {A}}$の固有値 $a_{n}\$ に属する固有状態 $|a_{n}\rangle \$ であるときは、物理量 ${\hat {A}}$ を観測すれば必ず $a_{n}\$ という値を得る（オブザーバブルを参照）。よって「物理量 ${\hat {A}}$ の固有状態 $|a_{n}\rangle \$ は、物理量 ${\hat {A}}$ が確定した値 $a_{n}$ を持っている状態である」と解釈できる。

また ${\hat {A}}$ はエルミート演算子なので、その固有値はすべて実数である。

エネルギー固有状態

定常状態のシュレディンガー方程式は、エネルギーを表す演算子であるハミルトニアンの固有値方程式である。

${\hat {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle .$

よってその解 $|\psi \rangle \$ は、エネルギー固有状態である。

状態がエネルギー固有状態のひとつ $|\psi _{i}\rangle \$ であった場合、エネルギーを測定すると、測定値は $|\psi _{i}\rangle \$ に対応するエネルギー固有値 $E_{i}\$ が必ず得られる。よってエネルギー固有状態は「エネルギーが確定しているような状態」とも言える。

ある状態ベクトルや波動関数のことを単に「固有状態」とか「固有関数」と呼ぶことがある。しかしその意味は「定常状態のシュレーディンガー方程式の解であり、エネルギーが確定しているような特別な状態」ということであり、任意の状態を意味しているわけではない。

同時固有状態

2つのオブザーバブル${\hat {A}}$と${\hat {B}}$が交換するとき、つまり

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$

のときは、${\hat {A}}$と${\hat {B}}$のどちらの固有ベクトルでもあるベクトル$|A,B\rangle$が存在する。これを同時固有状態（または同時固有ベクトル、同時固有関数）という。同時固有状態は、物理量${\hat {A}}$と${\hat {B}}$の両方が確定しているような状態である。

関連項目

• 量子状態
• 波動関数
• シュレーディンガー方程式