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ランキン渦またはランキンの結合渦(英: Rankine's combined vortex)とは、渦度分布の一様な中核部分と、その外側の渦なしの部分からなる渦である[1]。日常的に水面などに見られる渦[2]を流体力学で考察する際に、単純化された近似モデルとして使われる。
概要 [編集]
ランキン渦が考察の対象とするのは、自由表面を持つ水が鉛直軸の周りに回転している状況である。水面には大気圧
がかかっているとする。
また、次の仮定を行う:
- 流体は完全流体である。
- 流速は高さ
方向の成分を持たず、また
に依存しない。すなわち2次元流れである。
- 外力(ここでは重力)はポテンシャルを持つ保存力である。
これを、半径
の円内に渦度
が一様に分布し、円外は渦なしであるものと考えると、渦の中心から半径
の位置の速度
は円周方向成分のみを持ち、
![{\displaystyle v(r)={\begin{cases}{\dfrac {\omega }{2}}r,&\quad (r<a),\\{\dfrac {\omega }{2}}{\dfrac {a^{2}}{r}},&\quad (r>a)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98119817c75a37522817db32f8bde75b0964eca7)
となる[1]。一方、圧力
は、高さを
で表すと次のように表される[3]:
![{\displaystyle p(r,z)={\begin{cases}{\dfrac {\rho }{8}}\omega ^{2}r^{2}-\rho gz,&\quad (r<a),\\{\dfrac {\rho }{8}}\omega ^{2}a^{2}\left(2-{\dfrac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-\rho gz,&\quad (r>a)\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e8d8696ac1b30114603cb24a1970f359c3badb)
ここで
は流体の密度、
は重力加速度である。
無限遠での水面の高さを
とすると、自由表面の圧力
は
での圧力に等しいから
![{\displaystyle p_{\infty }={\frac {\rho }{4}}\omega ^{2}a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b007ee9911ff5822d755de52f62ca46ab655d37)
が成り立ち、これを用いて上式を書き換えれば、
![{\displaystyle p(r,z)={\begin{cases}{\dfrac {p_{\infty }}{2}}{\dfrac {r^{2}}{a^{2}}}-\rho gz,&\quad (r<a),\\{\dfrac {p_{\infty }}{2}}\left(2-{\dfrac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-\rho gz,&\quad (r>a),\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f56145eb34887c7229a035a951e235765d27d34)
と表される。
水面の形は、上式で
となる高さ
であるから、
![{\displaystyle z|_{p=p_{\infty }}(r)={\begin{cases}-{\dfrac {p_{\infty }}{\rho g}}\left(1-{\dfrac {r^{2}}{2a^{2}}}\right),&\quad (r<a),\\-{\dfrac {p_{\infty }}{\rho g}}{\dfrac {a^{2}}{2r^{2}}},&\quad (r>a)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78f706d1613d034e0f0b59c6f78470b4634fdec)
と得られる。したがって水面は、渦の中では回転放物面の形を持ち、渦の外では
に反比例するようなくぼみとなる。くぼみの最深点は
![{\displaystyle z|_{p=p_{\infty },r=0}=-{\frac {p_{\infty }}{\rho g}}=-{\frac {\omega ^{2}a^{2}}{4g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec36e2cfe033be333d0bbd52c49d2c267646f155)
で与えられ、渦度
と渦の半径
の積(=渦の周辺での流速)の2乗に比例する。
関連項目[編集]