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ノート:オイラーの公式

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2014/12

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ロジャー・コーツによる考察は，対数関数の多価性以前に，積分のところから既におかしいです．記事を読むと，対数関数の多価性だけが問題ともとれ，また対数関数の多価性が一番の問題とも取れます．全然違います．めんどくさいので記事には手を加えず放ってますが．--新規作成（会話） 2014年12月6日 (土) 12:11 (UTC)[返信]

出典のない部分

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  • ロジャー・コーツは以下に示す積分に関する考察から、今日オイラーの公式と呼ばれる関係を示した
  • コーツの類推は複素対数の無限多価性を考慮していない点で数学的には破綻しており、以下の説明は厳密な証明とは言えない
    • コーツによる考察は概ね以下の様なものである
    • コーツが得た証明は、複素対数関数が多価関数であることを見落としており、間違っている
  • 数学者が対数関数の多価性に気づくにはレオンハルト・オイラーによる多価性の証明を待たなければならなかった

以上．見落としがあったらごめんなさい．出典の明記をよろしくお願いします．--新規作成（会話） 2014年12月7日 (日) 11:23 (UTC)[返信]

Dunham の "Euler: The Master of Us All" を参照したところ、「コーツの考察」に関する記述の元であろう記述を見つけたので報告します。該当部分は "Euler and Complex Variables" の pp.94-95, 98-101 です。これによれば例の積分の議論はオイラーによるものであるとのことで、コーツに関する記述はありませんでした。
なお、コーツの議論自体は英語版の en:Roger Cotes の脚注にラテン語英訳が書いてあったのでそちらを参照すればよいと思います。
複素対数の性質については、ベルヌーイとライプニッツの負数の対数に関する論争に対するオイラーの解答と、オイラーの複素対数の多価性の発見とを自分が混同してしまっていました。発見史に関しても、ベルヌーイやライプニッツなどが認識していなかったことは確からしいのですが、オイラーが対数の多価性を最初に発見したというような記述はなく、これも自分が強調し過ぎてしまった部分です。
編集をする前に参照元を先にチェックすべきでした。余計な混乱を招いてしまい申し訳ありません。（少なくとも自分が追記してしまった部分に関しては）該当部分は削除してかまいません。お騒がせしました。--Glayhours（会話） 2014年12月10日 (水) 16:20 (UTC)[返信]

はじめに記載した者です。ロジャーコーツの考察とオイラーの考察を混同しておりました。申し訳ありません。また数学的に破綻している部分があるため、コメントアウト部を削除いたします。--Morley41Wiki（会話） 2014年12月10日 (水) 17:06 (UTC)[返信]

wikipedia編集初心者です。オイラーの公式と四元数の関係を書きたいのですが。

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次の考察が正しければ書き足してみたいのですが。 //-- 

オイラーにならってマクローリン展開で考察する。
(a^bはaのb乗のこととする。)

e^x=x^0/(0!)+x^1/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!)+x^5/(5!)+.. …[1]

i,j,kを四元数における３つの「虚数単位」とする。
[1]式を、e^(iθ+jφ+kψ)について考察する（θ,φ,ψは実数）。 
θ^2+φ^2+ψ^2>0としておく。
四元数の性質により、次の各式が成り立つことに着目する。

(iθ+jφ+kψ)^0=1
(iθ+jφ+kψ)^1=iθ+jφ+kψ
(iθ+jφ+kψ)^2=-(θ^2+φ^2+ψ^2)
(iθ+jφ+kψ)^3=-(θ^2+φ^2+ψ^2)(iθ+jφ+kψ)
(iθ+jφ+kψ)^4=(θ^2+φ^2+ψ^2)^2
(iθ+jφ+kψ)^5={(θ^2+φ^2+ψ^2)^2}(iθ+jφ+kψ)
(iθ+jφ+kψ)^6=-(θ^2+φ^2+ψ^2)^3
(iθ+jφ+kψ)^7=-{(θ^2+φ^2+ψ^2)^3}(iθ+jφ+kψ)
(iθ+jφ+kψ)^8=(θ^2+φ^2+ψ^2)^4

（中略：式変形過程を書く） 

よって、オイラーの公式の四元数への応用は、
e^(iθ+jφ+kψ)
=cos√(θ^2+φ^2+ψ^2))
+{(iθ+jφ+kψ)/√(θ^2+φ^2+ψ^2))}
･sin√(θ^2+φ^2+ψ^2))
と書ける。

--// --CEGIPO（会話） 2016年8月25日 (木) 11:55 (UTC)[返信]

当該の公式は四元数#指数・対数・冪函数に示されているので参考にしてみてはいかがでしょうか。--Glayhours（会話） 2016年8月25日 (木) 15:45 (UTC)[返信]
確認しました。表記法が少し違いますが確かに書いてありますね。ご指摘ありがとうございます。--CEGIPO（会話） 2016年8月27日 (土) 05:53 (UTC)[返信]

と度数との関係

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が成り立つことの証明 — Template:Math proof missing continue parameter

pythagorean standard pitch a432（会話） 2018年3月27日 (火) 03:41 (UTC)[返信]

そういった証明をノートページに記述することに何の意味があるのでしょう。いわんや本文をやです。弧度単位と度数単位とが混在している以上等号が成り立つとは考えにくい。 --kyube（会話） 2018年5月2日 (水) 05:54 (UTC)[返信]
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