解説Kerr photon orbit with zero axial angular momentum.gif	Deutsch: Photonenorbit um ein mit mit dem Spinparameter a=Jc/G/M²=1 rotierendes schwarzes Loch. Der Boyer-Lindquist Radius ist konstant r⊥°=(1+√2)GM/c². Axialer Drehimpuls: Lz=0 (aufgrund des Frame-Dragging-Effekts ist der beobachtete Inklinationswinkel kleiner als 90°; für die Version auf r⊥°=3GM/c² mit scheinbar verschwindendem axialen Drehimpuls, in der dieser den Effekt des Frame-Draggings genau aufhebt geht es hier entlang. English: Photon-orbit around a rotating black hole with the spin-parameter a=Jc/G/M²=1. The Boyer-Lindquist radius is constant at r⊥°=(1+√2)GM/c². Because of the inertial-frame-dragging the zero axial angular momentum, Lz=0, gives an observed inclination angle of smaller than 90°; for a version where a negative Lz exactly cancels out the equatorial fram-dragging click here.
日付	2017年7月21日
原典	投稿者自身による著作物 Text: de.wikipedia.org/wiki/Kerr-Metrik, other versions: photon orbit @ r=3
作者	Yukterez (Simon Tyran, Vienna)
その他のバージョン

01) Coordinate time              08) Axial radius of gyration     15) Axial angular momentum       22) Framedragging delayed angular velocity
02) Affine parameter             09) Poloidial radius of gyration 16) Polar angular momentum       23) Framedragging local velocity
03) Total time dilation          10) Radial coefficient           17) Radial momentum              24) Framedragging observed velocity
04) Gravitational time dilation  11) E kinetic                    18) Cartesian radius             25) Observed particle velocity
05) Boyer Lindquist radius       12) Potential energy component   19) Cartesian X-axis             26) Local escape velocity
06) BL Longitude in radians      13) Total particle energy        20) Cartesian Y-axis             27) Delayed particle velocity
07) BL Latitude in radians       14) Carter Constant              21) Cartesian Z-axis             28) Local particle velocity

01) Koordinatenzeit              08) Axialer Gyrationsradius      15) Axialer Drehimpuls           22) Framedrag verzögerte Winkelgeschwindigkeit
02) Affiner Parameter            09) Poloidialer Gyrationsradius  16) Polarer Drehimpuls           23) Framedrag lokale Transversalgeschwindigkeit
03) Insgesamte Zeitdilatation    10) Radialer Vorfaktor           17) Radialer Impuls              24) Framedrag beobachtete Transversalgeschwindigkeit
04) Gravitative  Zeitdilatation  11) E kinetisch                  18) Kartesischer Radius          25) Beobachtete Totalgeschwindigkeit
05) Boyer Lindquist Radius       12) Potentielle Energie          19) Kartesische X-Achse          26) Lokale Fluchtgeschwindigkeit
06) BL Längengrad in Radianten   13) Totale Energie               20) Kartesische Y-Achse          27) Verzögerte Geschwindigkeit
07) BL Breitengrad in Radianten  14) Carter Konstante             21) Kartesische Z-Achse          28) Lokale Geschwindigkeit relativ zum ZAMO

Für ein gegebenes a und r und ausgehend von θ0=π/2 kann der benötigte Bahnneigungswinkel δ0 für die Kreisbahn eines Photons gefunden werden indem^[1]

${\displaystyle {\rm {{\frac {\zeta _{1}+\zeta _{2}-\zeta _{3}}{\zeta _{4}}}=0}}}$

gesetzt und nach δ0 aufgelöst wird. Die realen Lösungen des Polynoms geben eine mögliche Bahn in die positive, und eine in die negative z-Richtung (aufgrund der axialen Symmetrie sind auf einem r jeweils 2 zueinander gespiegelte Orbits möglich). Die Terme der obigen Gleichung sind:

${\displaystyle {\rm {\zeta _{1}=a^{4}(r-1)+a^{2}r(r(3r-5)+6)+2(r-3)r^{4}}}}$

${\displaystyle {\rm {\zeta _{2}=4a{\sqrt {a^{2}+(r-2)r}}\left(a^{2}+3r^{2}\right)\cos(\delta )}}}$

${\displaystyle {\rm {\zeta _{3}=a^{2}(r+3)\left(a^{2}+(r-2)r\right)\cos(2\delta )}}}$

${\displaystyle {\rm {\zeta _{4}=2r\left(a^{2}+(r-2)r\right)\left(a^{2}(r+2)+r^{3}\right)}}}$

Alle Formeln sind in natürlichen Einheiten:

${\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}$

Koordinatenzeitableitung nach der Eigenzeit (dt/dτ), wobei τ für masselose Testteilchen zum affinen Parameter λ wird:

${\displaystyle {\rm {{\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}}}$

Radialkoordinatenableitung (dr/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}}}$

Radiale Impulskomponentenableitung:

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}}}$

Zusammenhang mit der lokalen Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\rm {p_{r}={\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}$

Breitengradableitung (dθ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}}}$

Drehimpulsableitung auf der θ-Achse (pθ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left({\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{4}\theta }}-a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}}}}$

Zusammenhang mit der lokalen Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\rm {p_{\theta }={\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}$

Längengradableitung (dФ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}}}$

Drehimpulsableitung auf der Ф-Achse (pФ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\phi }=0}}}$

Erhaltungsgröße Carter-Konstante:

${\displaystyle {\rm {Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}}}$

Daraus abgeleitete Erhaltungsgröße:

${\displaystyle {\rm {k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q}}}$

Erhaltungsgröße Gesamtenergie:

${\displaystyle {\rm {E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\varphi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}}}$

Erhaltungsgröße Drehimpuls entlang Ф:

${\displaystyle {\rm {L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}$

mit dem Radius der Gyration

${\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta }}}$

Frame Dragging Winkelableitung (dФ/dt):

${\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\chi }}}}}$

Gravitative Zeitdilatationskomponente (dt/dτ):

${\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }}}}}}$

Lokale Geschwindigkeit auf der r-Achse:

${\displaystyle {\rm {{\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}$

Lokale Geschwindigkeit auf der θ-Achse:

${\displaystyle {\rm {{\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {\theta }}\ \Sigma }}}$

Lokale Geschwindigkeit auf der Ф-Achse:

${\displaystyle {\frac {\rm {v_{\phi }}}{\sqrt {1+\mu \ {\rm {v^{2}}}}}}={\frac {\rm {L_{z}}}{\rm {{\bar {R}}_{\phi }}}}}$

Kartesische Koordinaten:

${\displaystyle {\rm {x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \cos \phi \ ,\ y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \sin \phi \ ,\ z=r\cos \theta \quad }}}$

Beobachtete Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\rm {\beta ={\sqrt {(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}}}}}}$

Die radiale Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Verhältnis:

${\displaystyle {\rm {\varsigma =1/{\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}/\varsigma }}}$

zusammengefasste Terme:

${\displaystyle {\rm {\Sigma =a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\ ,\ \ \Delta =a^{2}+r^{2}-2r\ ,\ \ \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}$

Quellen:^{[2][3][4][5][6][7]}

For an english version of the equations of motions click here

1. ↑ Simon Tyran: Kreisbahnen in der Kerr-Raumzeit
2. ↑ Pu, Yun, Younsi & Yoon: General-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime, S. 2+
3. ↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits, S. 30+
4. ↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes, S. 5+
5. ↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: The Phase Space Portrait, S. 2+
6. ↑ Misner, Thorne & Wheeler (MTW): Die Bibel アーカイブされたコピー at the Wayback Machine, S. 897+
7. ↑ Simon Tyran: Kerr Orbits / Gravitationslinsen

この作品の著作権者である私は、この作品を以下のライセンスで提供します。

このファイルはクリエイティブ・コモンズ 表示-継承 4.0 国際ライセンスのもとに利用を許諾されています。

あなたは以下の条件に従う場合に限り、自由に

• 共有 – 本作品を複製、頒布、展示、実演できます。
• 再構成 – 二次的著作物を作成できます。

あなたの従うべき条件は以下の通りです。

• 表示 – あなたは適切なクレジットを表示し、ライセンスへのリンクを提供し、変更があったらその旨を示さなければなりません。これらは合理的であればどのような方法で行っても構いませんが、許諾者があなたやあなたの利用行為を支持していると示唆するような方法は除きます。
• 継承 – もしあなたがこの作品をリミックスしたり、改変したり、加工した場合には、あなたはあなたの貢献部分を元の作品とこれと同一または互換性があるライセンスの下に頒布しなければなりません。

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

de.wikipedia.org/wiki/Kerr-Metrik