剰余体

数学において、剰余体（じょうよたい、英: residue field）は可換環論における基本的な構成である。R を可換環、m を極大イデアルとしたとき、剰余体は剰余環 k = R/m のことを言う（これは体である）。しばしば R は局所環で、このとき m はその唯一の極大イデアルである。

この構成は代数幾何学へ応用される。スキーム X の各点 x に x の剰余体 k(x) が関連付けられる。少し大まかに言うと、抽象代数多様体の点の剰余体は、点の座標の「自然な領域」である。

定義

R を極大イデアル m をもつ可換局所環とすると、剰余体は、商環 R/m である。

さて、X をスキームとし、x を X の点とする。スキームの定義により、A をある可換環としてアフィン近傍 U = Spec(A) がある。近傍 U の中で考えると、点 x は素イデアル p ⊂ A と対応する（ザリスキー位相を参照）。x における X の局所環は、定義により局所化 R = A_p であり、これは極大イデアル m = p·A_p を持つ。上の構成を適用して、点 x の剰余体を得る。

k(x) := A_p / p·A_p.

この定義はアフィン近傍 U の取り方に依らないことが証明できる。

ある体 K に対し、k(x) ⊂ K であるときに、点 x を K-有理点であると言う。

例

体 k 上のアフィン直線 A¹(k) = Spec(k[t]) を考える。k が代数的閉体であれば、素イデアルにはちょうど2つの種類

• (t − a), a ∈ k
• (0), 零イデアル

が存在する。

剰余体は、

• $k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)}\cong k$
• $k[t]_{(0)}\cong k(t),$　k 上の一変数の関数体

である。

k が代数的閉体でなければ、さらに種類が発生する。例えば、k = R であれば、素イデアル (x² + 1) は C と同型な剰余体を持つ。

性質

• 体 k 上の局所有限型のスキームに対し、点 x が閉であることと、k(x) が基礎体 k の有限次拡大であることとは同値である。これはヒルベルトの零点定理の幾何学的定式化である。上記の例では、1種類目の点は閉で、剰余体 k を持ち、2種類目の点は生成点で、k 上超越次数 1 である。
• K をある体として、射 Spec(K) → X は、点 x ∈ X と体拡大 K/k(x) を与えることと同じである。
• 体上の有限型のスキームのクルル次元は、生成点の剰余体の超越次数に等しい。

参考文献

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157 , section II.2