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+{{Main|竹内関数}}
-'''竹内関数'''（たけうちかんすう）は、[[プログラミング言語]][[実装|処理系]]の[[ベンチマーク]]などに使われる、[[再帰的定義|再帰的に定義]]された[[関数 (数学)|関数]]である。
-== 概要 ==
-三つの[[整数]] ''x'', ''y'', ''z'' に対して、次のように[[再帰]]的に[[定義]]される。
-<math>{\rm Tarai}(x, y, z) = \begin{cases}
-  y & \mbox{ if }x \le y\\
-  {\rm Tarai}({\rm Tarai}(x - 1, y, z), {\rm Tarai}(y - 1, z, x), {\rm Tarai}(z - 1, x, y)) & \mbox{ otherwise. }\\
-\end{cases}</math>
-定義からわかるように処理を次々に[[たらい回し]]にしていくことから、'''たらいまわし関数'''<ref>{{cite book | 1=和書 | title=C言語による最新アルゴリズム事典 | publisher=[[技術評論社]] | author=奥村晴彦 | authorlink=奥村晴彦 | year=1991 | page=185 | isbn=4-87408-414-1}}</ref>、'''たらい関数''' (''Tarai function'') とも呼ばれる（後述のマッカーシー版との混同を避けるためこの名で呼ばれることのほうが多いが、こちらの定義のほうがオリジナルである。マッカーシー版を特にTak関数として区別する場合もある）。[[日本電信電話公社|電電公社]]研究員（当時）の[[竹内郁雄]]が[[1976年]]に考案した。竹内関数と命名したのは[[野崎昭弘]]である<ref>[[野崎昭弘]]『計算機数学』（[[共立出版]]、1984年）</ref>。与える数によって関数の再帰呼び出しの回数が非常に増え、計算量が大きくなるため、コンピュータの性能測定などに用いられる。
-他のよくベンチマークに使われる関数と比較して、たとえば[[フィボナッチ数]]を何の工夫もなく計算するいわゆるダム（dumb）フィボナッチと比較して、計算量を増やしても、たいして大きな数の計算が必要ない（ワード長の整数演算さえ実装していれば十分）、再帰がたいして深くならない（たいした量のスタックを使えなくても十分）、といった特性があり、関数呼び出し（と戻り）の[[オーバーヘッド]]がものをいう、というベンチマークである。
-== マッカーシー版 ==
-[[ジョン・マッカーシー]]は竹内関数を記憶違いで<ref>[http://jp.franz.com/base/seminar/2005-11-18/SeminarNov2005-Takeuchi.htm どう転んでもLisp - スライド12]</ref> ''z'' を返すように変更し、これが'''Tak関数'''として広まった。以下がその定義である。
-<math>{\rm Tak}(x, y, z) = \begin{cases}
-  z & \mbox{ if }x \le y\\
-  {\rm Tak}({\rm Tak}(x - 1, y, z), {\rm Tak}(y - 1, z, x), {\rm Tak}(z - 1, x, y)) & \mbox{ otherwise. }\\
-\end{cases}</math>
-計算量はずっと少ない（たとえば tarai(12, 6, 0) では 12,604,860 回 tarai が呼ばれるのに対し、 tak(12, 6, 0) では tak は 63,608 回しか呼ばれない）。
-== 本質 ==
-竹内関数の出力は以下のものと同等である。
-<math>{\rm T0}(x, y, z) = \begin{cases}
-  y & \mbox{ if }x \le y\\
-  z & \mbox{ if }x > y \mbox { and } y \le z\\
-  x & \mbox{ otherwise. }\\
-\end{cases}</math>
-[[ドナルド・クヌース]]による研究が、Textbook Examples of Recursion(1990)にある。
-== 高速化 ==
-竹内関数を高速化するには、関数呼び出しのコストを小さくする、というまっとうな手法と、計算を必要になるまでやらない（引数のx, y, zの値が実際に必要なのは、関数の呼び出し時でなくifの評価時で、しかも常に全部は必要としない）か、一度やった計算の結果を再利用するかして、計算量自体を削減する（当然非常に速い。ベンチマークとしては一種のチートと言えなくもない）手法とがあり、後者には次のような手法がある。
-; [[メモ化]]
-: 一度計算した値を覚えておき、次の呼び出しではその値を使う。
-; [[遅延評価]]
-: [[クロージャ]]などを利用して、関数呼び出しの計算より前に引数を計算すること（[[先行評価]]）をしない（ただし、クロージャ生成のコストがかかる）。原則として遅延評価する言語である[[Haskell]]では定義そのままで非常に速い。他にも[[Scala]]など遅延評価に対応した言語においては、簡単に、非常に高速に評価が終わるコードを作成できる。
-マッカーシー版は、メモ化では同様に速い。しかし、マッカーシー版をHaskellなどでそのままの定義で遅延評価した場合は、高速にならない（遅延評価では計算量が減らない）、という違いがある。これは少し動作を追いかけて考えてみるとわかるが、本物では z の値をたらいまわしした挙句に結局使っていない（捨ててしまっている）ため、遅延評価ではその計算がごっそり行われなくなるからである。マッカーシー版では z を返しているため結局その値が必要になっている、という違いになっている。先行評価による tarai(n, 0, n+1) の計算全体において「さもなくば」の側が評価される回数をTakeuchi Numberと言う<ref>[http://mathworld.wolfram.com/TakeuchiNumber.html Weisstein, Eric W. "Takeuchi Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/TakeuchiNumber.html]</ref>。
-== 感覚化 ==
-数値データ等を視覚や聴覚でとらえられるようにすることがあるが（視覚の場合[[可視化]]という）、竹内関数の引数の値に音階を割り振り、3個の引数で和音のような音にした試みがある<ref>http://d.hatena.ne.jp/aike/20111112</ref>。
-== 参照 ==
-<references />
-== 関連項目 ==
-* [[アッカーマン関数]]
-== 外部リンク ==
-* [http://www.nue.org/nue/#tak-function TAK Function]
-* [http://mathworld.wolfram.com/TAKFunction.html Wolfram MathWorld]
-* [http://jp.franz.com/base/seminar/2005-11-18/SeminarNov2005-Takeuchi.htm どう転んでもLisp] - スライド10 - 13に作者自身の解説がある
-* [http://www.nue.ci.i.u-tokyo.ac.jp 東京大学 竹内郁雄研究室]
-{{DEFAULTSORT:たけうちかんすう}}
-[[Category:特殊関数]]
-[[Category:計算理論]]
-[[Category:数学に関する記事]]