応答関数

ある入力が来たとき，それに対応して決まった出力を出すような物理系があるとする．例えば電気回路，粘弾性体，誘電体，光学系などである．一定の規格を持つ時間の関数である入力に対して出力が決まった時間の関数になる時，その関数を一般に応答関数と呼ぶ．またインパルス応答関数のことを応答関数と呼ぶ場合もある．

応答関数の例

入力の形に対応していろいろな応答関数があり，分野によって命名もまちまちである．

• インパルス応答関数(余効関数，重み関数)：デルタ関数型の入力の場合の応答関数．
• 緩和関数： 一定の大きさの入力が突然入った場合，あるいは突然無くなった場合の応答関数．入った場合の応答関数をステップ応答関数(インディシャル応答)とも呼ぶ．
• 周波数応答関数： 入力が正弦波の場合の応答関数．
• 伝達関数：入力が$e^{pt}$(pは複素数)の場合の応答関数．

入力と出力の関係が線形性を持つなら，すなわち重ね合わせができるなら，任意の入力に対する出力は応答関数を用いて表すことができる．これを線形応答理論と呼ぶ．

インパルス応答関数$\phi (t)$がわかっているとき，入力$x(t)$に対する出力$y(t)$は次の畳み込みの式で表せる．

$y(t)=\int _{-\infty }^{t}\phi (t-s)x(s)ds$

ステップ応答関数$\psi (t)$の場合は，右辺が$\int _{-\infty }^{t}\psi (t-s)dx/ds\cdot ds$となる．

周波数応答関数を$\Phi (\omega )$(一般に複素数)，入力$x$のフーリエ変換を$X(\omega )$とすると，出力のフーリエ変換は$Y(\omega )=\Phi (\omega )X(\omega )$となる．

参考文献

• 『物理学辞典』 培風館、1984年

関連項目

• 緩和関数
• 線形応答理論