冪零行列

べき零行列とは、 n 次正方行列 M であって、ある m に対して、

M^m = 0

が成り立つものをいう。べき零行列は基底の与えられたベクトル空間に対してべき零変換を定める

標準形

$N_{n}={\begin{pmatrix}0&E_{n-1}\\0&0\end{pmatrix}}$

と置いたとき、べき零行列の標準形は、上の行列の幾つかの直和

${\begin{pmatrix}N_{n_{1}}&&0\\&\ddots &\\0&&N_{n_{k}}\end{pmatrix}}$

となる。標準化の対象になる行列を M としたとき、ρ_r = rankM^r - rankM^r-1 と置けば、n_i = p なる i の個数は全部で ρ_p - ρ_p+1 個ある。この ρ_i の値によって作られるべき零行列の標準形は、n_i の順番を除いて一意的である。以下、ρ_iの値に基づく(s次)標準形を N[ρ₁,…,ρ_s] と書く。また、M の次数を s とすれば、ρ_i の定義から直接に、∑ρ_i = s となるから、次数 s に置ける相異なる標準形の個数は F_s+1 である。ここに F はフィボナッチ数列を指す。例えば、次数 4 に於ける標準形は、

${\begin{pmatrix}N_{4}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}N_{3}&0\\0&N_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}N_{2}&0\\0&N_{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}N_{2}&0&0\\0&N_{1}&0\\0&0&N_{1}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}N_{1}&0&0&0\\0&N_{1}&0&0\\0&0&N_{1}&0\\0&0&0&N_{1}\end{pmatrix}}$

の 5 つである。この標準形は、それぞれ N[1,1,1,1] , N[2,1,1,0] , N[2,2,0,0] , N[3,1,0,0] , N[4,0,0,0] である。一般に N[1,…,1] = (N_s) , N[s,0,…,0] = O が成立する。
N_n は、冪乗に関して次のような性質を持つ。

$N_{n}^{2}={\begin{pmatrix}0&N_{n-1}\\0&0\end{pmatrix}}$