概要

解説Golden Mean Quadratic Siegel Disc.png	Golden Mean Quadratic Siegel Disc
原典	Made with program Mandel by Wolf Jung
作者	--Adam majewski (talk) 16:26, 21 September 2011 (UTC)
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Compare with

• 
  Average velocity - color version
• 
  Average velocity - Gray and detailed version
• 
  Boundary made with MIIM
• 
  Boundary - Animated version

概要

This image shows the filled Julia set of Kc for complex quadratic polynomials :^[1]

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$

where the parameter c is located on the boundary of the main cardioid.

parameter c

Here the rotation number ( or internal angle ) ${\displaystyle t\,}$

is irrational number, the Golden Mean :^[2]

${\displaystyle t={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\approx 0.618033988749895}$

The multiplier ${\displaystyle \lambda \,}$ of map ${\displaystyle f\,}$ at fixed point is :

${\displaystyle \lambda =\lambda (t)=e^{2*\Pi *t*i}\,}$

has magnitude=1 so point c is on the boundary of unit circle and can be mapped to the boundary of main cardioid of Mandelbrot set :

${\displaystyle c=c(\lambda )={\frac {\lambda }{2}}\left(1-{\frac {\lambda }{2}}\right)\approx -0.390540870218399-0.586787907346969*i}$

Dynamical plane

Inside filled Julia set Kc ( black color) there are some orbits ( white points ) craeting deformed disks.

Outermost disc is a critical orbit.

All discs are around the indifferent fixed point ${\displaystyle \alpha _{c}\,}$ ^[3]

${\displaystyle \alpha _{c}=\left\{z:\ f_{c}(z)=z\right\}\approx -0.3686844390391594-0.3377451471307621*i}$

See demo 2 page 7 for more description

How this image was made

• run program mandel^[4]
• go to a boundary point with the key b
• Draw the critical orbit with the key o which makes boundary of Siegel disc
• Draw some orbits inside disc made by critical orbit :
  • tell the program to draw all iterated points with key #
  • select a point inside Siegel disc with double click
  • make some forward iteration with key f
  • repeat it
• save image as png with key F7

One can find that fixed point by

• switching to dynamic plane ( key F2 )
• finding periodic point ( key x) and inputting period 1

References

1. ↑ complex quadratic polynomial at wikipedia
2. ↑ Golden_ratio#Golden_ratio_conjugate
3. ↑ Periodic points of complex quadratic mappings at wikipedia
4. ↑ Mandel: multiplatform and opensource software for real and complex dynamics by Wolf Jung

ライセンス

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