ノート:素数が無数に存在することの証明

お願い

難しすぎて、ユークリッドの以外はわかりません。いや、それは私が数学苦手だし、偉く高尚そうなので仕方ないんです。ただ、最後の現代のやつ、式そのものは簡単なのに、これで素数が無限に存在することを証明している、と言うのがわかりません。少なくとも、字面ではそう書いていませんよね。だから、そこからどうしてそう判断できるか、を書いてはいただけませんか？--Ｋｓ（会話） 2013年7月1日 (月) 12:27 (UTC)

「最後の現代のやつ」とはフィリップ・サイダックによる証明のことですね。具体的な例で示してみますね。

例えば n=2 とすると、N₂=2×3=6 は少なくとも2つの互いに相異なる素因子2と3を持つことがわかります。

N₃=N₂×(N₂+1)=2×3×7=42 は少なくとも3つの互いに相異なる素因子2と3と7を持つことがわかります。

N₄=N₃×(N₃+1)=2×3×7×43=1806 は少なくとも4つの互いに相異なる素因子2と3と7と43を持つことがわかります。ここで、1806+1=13×139ですから、

N₅=N₄×(N₄+1)=(2×3×7×43)×(13×139)=3263442 は少なくとも5つの互いに相異なる素因子2と3と7と43と13(または139)を持つことがわかります。

これを繰り返すと、N_m+1=N_m×(N_m+1) は少なくとも m+1 個の互いに相異なる素因子を持つことがわかります。

したがって素数の個数を M 個とすると、M < m+1 となるような正整数 m を取ることができるから矛盾する。

こんな解説ではいかがでしょうか。--敷島健一（会話） 2013年7月1日 (月) 15:24 (UTC)

なるほど、そういう話なのですね。それはよくわかりました。では、それを書いて下さいませんでしょうか。よろしくお願いします。現在の文は、素数が無限に存在する、という結論の手前であり、わかる人にはわかるのでしょうが、私にはわからなかったので。よろしくお願いします。--Ｋｓ（会話） 2013年7月1日 (月) 16:27 (UTC)

なるほど、「素数が無限に存在する」という命題の意味が「無限個の素数の具体的な値を明示的に表す」ことだとご理解なさっているようですね。そうではなくて、「素数が無限に存在する」という命題の意味は「ある有限個の素数を与えると、それ以外の素数が存在する」ということなのです。ですから、ユークリッドの『原論』第9巻命題20は、

「素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。」

という表現になっているのです。--敷島健一（会話） 2013年7月1日 (月) 17:03 (UTC)

参考文献

『ユークリッド原論』中村幸四郎他訳（縮刷版）、共立出版、1996年、218頁。ISBN 4-320-01513-4。http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019652。  - リンクは2011年発行の追補版です。

いや、そうではなくて、この式と文章の説明で、その最後が「だから素数の数は無限に存在する」になってないでしょ？そこを埋められやしないか、という話なのですが。私、数学は弱いですが、これでも一応理系なので、それでわからないと、もっと多くの人がわからないのでは、と思うのですが。--Ｋｓ（会話） 2013年7月1日 (月) 23:37 (UTC)