閉測地線

数学の微分幾何学および力学系の分野において、あるリーマン多様体上の閉測地線（へいそくちせん、英: closed geodesic）とは、その多様体上の測地流の閉軌道の射影のことを言う。

定義

リーマン多様体 (M,g) において閉測地線は、計量 g についての測地線であり、周期的であるような曲線 $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ である。

閉測地線は、変分原理によって特徴付けられる。$\Lambda M$ を M 上の滑らかな 1-周期曲線の空間とするとき、周期 1 の閉測地線は、次式で定義されるエネルギー函数 $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ の臨界点である。

$E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.$

$\gamma$ が周期 p の閉測地線であるなら、再びパラメータ化された曲線 $t\mapsto \gamma (pt)$ は周期 1 の閉測地線であり、したがって E の臨界点である。$\gamma$ が E の臨界点であるなら、各 $m\in \mathbb {N}$ に対して $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ で定義される曲線 $\gamma ^{m}$ も E の臨界点である。したがって、M 上のすべての閉測地線はエネルギー E の臨界点からなる無限列を生成する。

例

通常の円形リーマン計量を伴う単位球面 $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ 上のすべての大圏は、閉測地線の一例である。すべての測地線が閉測地線であるような多様体は、数学関連の文献において綿密に調べられてきた。基本群がねじれを持たないようなコンパクト双曲曲面上で、閉測地線は、その曲面のフックス群の元の非自明な共役類と一対一対応を持つ。

関連項目

• セルバーグ跡公式
• ゾール曲面
• 測地線

参考文献

• Besse, A.: "Manifolds all of whose geodesics are closed", Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978.
• Klingenberg, W.: "Lectures on closed geodesics", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. x+227 pp. ISBN 3-540-08393-6