部分積分

部分積分（ぶぶんせきぶん）とは、2つの微分可能な関数 $f(x),g(x)$に対して成り立つ 以下のような公式のことを指す。

• $\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!$

• $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}f(x)g(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

ただし、定積分のときは、関数$f(x),g(x)$は有限閉区間$[a,b]$上とする。

微分の積の公式

${\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$

の両辺を積分することから得られる。

例

例1

${\begin{aligned}\int x\cos x\,dx&=x\sin x-\int \sin x\,dx\\&=x\sin x+\cos x+C\end{aligned}}\!$

例2

${\begin{aligned}\int xe^{x}\,dx&=xe^{x}-\int e^{x}\,dx\\&=xe^{x}-e^{x}+C\end{aligned}}\!$

例3

$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx.\!$

また同様に

$\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx\!$

であるから、上記二式の辺々の和と差をとることにより、

$\int e^{x}\cos x\,dx={e^{x}(\sin x+\cos x) \over 2}+C,\quad \int e^{x}\sin x\,dx={e^{x}(\sin x-\cos x) \over 2}+C\!$

例4

${\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\\&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}\!$

関連項目

• 不定積分
• 積分法