素因数

素因数（そいんすう、英: prime factor）は、自然数の内、ある自然数の約数になる素数である。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解という。例えば60は 2²×3×5 と素因数分解されるので60の素因数は 2,3,5 の3つである。また、7は素数であるため素因数分解できず、7の素因数は7自身のみとなる。素因数のことを素因子（そいんし）、素因数分解のことを素因子分解ということもある。

2つの自然数が互いに素であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは同値である。なお1は素因数を持たない数であり、したがって1は全ての（1自身を含めた）自然数と互いに素である。

自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。（→算術の基本定理）

スミス数は自然数で、その素因数の数字の和と各桁の数字の和が等しい数のことである。また、ルース=アーロン・ペアは連続する自然数の組で、それぞれの素因数の和が互いに等しいような二数のことである。

n の相異なる素因数の個数を与える関数を ${\omega (n)}$ と表記し n の重複も含めた素因数の総数を与える関数を ${\Omega (n)}$ と表記する。

$p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$ が相異なる素数で、$n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$ と素因数分解されるとき、$\omega (n)=k$ であり、 $\Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}$ である。例えば、$\omega (60)=3,\Omega (60)=2+1+1=4$ である。

明らかに $\Omega (n)\leq \log n/\log 2$ であり、等号はちょうど n が2の冪乗であるときに成り立つ。

また、ω(n)　の増加の割合は以下の式で表される。

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\omega (n)\log \log n}{\log n}}=1.$

より厳密には、以下の式が成り立つ。

$\omega (n)\leq 1.38402{\frac {\log n}{\log \log n}}(n\geq 3),$

$\omega (n)\leq {\frac {\log n}{\log \log n}}+1.45743{\frac {\log n}{(\log \log n)^{2}}}(n\geq 3),$

$\omega (n)\leq {\frac {\log n}{\log \log n-1.1714}}(n\geq 26).$

関連項目

• 素因数分解
• スミス数
• ルース=アーロン・ペア