米田の補題

米田の補題（よねだのほだい、Yoneda Lemma）とは、（小さなhom集合をもつ圏Cについて）共変hom関手 hom(A,-):C → Setから集合値関手 F: C → Setへの自然変換と、F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。

概要

局所的に小さい(locally small)圏を C とする、すなわち各対象 A,B に対して hom(A,B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、Cの各対象 B に対して集合（Setの対象）hom(A,B) を割り当てる関数は、CからSetへの関手の対象関数として考えることができる。この関手は大抵 h_A=hom(A,-):C → Set と表記され、共変hom関手(covariant hom functor)と呼ばれる。

ここで、 F:C → Set を任意の集合値関手とし、h_A から F へのすべての自然変換 θ:h_A ${\dot {\rightarrow }}$ F のクラス Nat(h_A,F) について考える。

米田の補題の骨子は、射 h_A(f)=hom(A,f) : hom(A,A) → hom(A,B) の恒等射 1_A に対する特性

hom(A,f)1_A = f

である。

θ は自然変換であるので、対象 A において自然である。すなわち、各対象 B への各射 f : A → B すべてに対して、自然性条件

θ_B・h_A(f) = F(f)・θ_A

が成り立つ。両辺を 1_A に作用させると、

（左辺）= (θ_B・h_A(f))1_A = θ_B(h_A(f)1_A) = θ_B(f)

（右辺）= (F(f)・θ_A)1_A = F(f)θ_A(1_A)

となる。したがって、各対象Bについて、

θ_B(f) = F(f)θ_A(1_A)

となる。これは、任意の（C の射かつ Set の対象の要素である） f ∈ hom(A,B) = h_A(B) に対して成り立つ。つまり θ_A(1_A) は各コンポーネント θ_B:h_A(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θ_A(1_A) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる。また明らかに、θ ∈ Nat(h_A,F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θ_A の恒等射 1_A における値 θ_A(1_A) ∈ F(A) を定める。

すなわち、全単射

y:Nat(h_A,F)  $\cong$  F(A)

が存在する。この y は米田写像(yoneda map)と呼ばれる。

参考文献