条件収束

数学において、級数あるいは積分が条件収束（じょうけんしゅうそく）するとは、収束するが絶対収束しないことをいう。

定義

正確には、級数

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

が条件収束する (converge conditionally) とは、

\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}

が存在して有限の数である（ $\infty$ や $-\infty$ ではない）が、

\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty

であることをいう。

古典的な例は次の交代級数

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}

であり、これは $log 2$ に収束するが、絶対収束しない（調和級数を参照）。

ベルンハルト・リーマン (Bernhard Riemann) はリーマンの級数定理（英語版）と呼ばれる次の定理を証明した。条件収束する級数は、項の順序を入れ替えることによって、 $\infty$ や $-\infty$ を含むどんな和にも収束させることができる。

典型的な条件収束積分は $sin(x 2)$ の非負の実軸上の積分である（フレネル積分を参照）。

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).