シラッシの多面体

シラッシの多面体
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種別	穿孔多面体、七面体
面数	7つの六角形
辺数	21
頂点数	14
頂点形状	6,6,6
対称群	C1, [ ]+, (11)
双対多面体	チャーサールの多面体
特性	非凸
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シラッシの多面体（シラッシのためんたい、英: Szilassi polyhedron）は7つの六角形の面からなる、トーラスに同相な、凸でない多面体である。

彩色と対称性

シラッシの多面体の全ての面は、他のどの面とも一辺を共有している。よって、隣接する面を異なる色で塗るためには七色を要し、七色定理の下界値を与える。シラッシの多面体は180度回転対称の軸を1つ持ち、3対の面は合同である。対にならない残り1つの六角形は、この軸に関して垂直かつ180度回転対称である。14個の頂点と21本の辺は、トーラス表面へと埋め込まれたヒーウッド・グラフの形をしている。

面の完全な隣り合い

四面体とシラッシの多面体は、全ての面同士が一辺を共有する多面体として（現在）知られているただ2つのものである。

もし f 枚の面を持つ多面体が h 個の穴を持つ曲面に埋め込まれていて、全ての面が他のどの面とも一辺を共有しているならば、オイラー標数の式を変形して

h={\frac {(f-4)(f-3)}{12}}

であることが導かれる。この等式は四面体が h = 0, f = 4 で、シラッシの多面体が h = 1, f = 7 で満たす。

数式上、次に考えられるのは h = 6, f = 12 で、これは各面が十一角形で44個の頂点と66本の辺をもつ多面体になるであろう。しかしながら、このような多面体が実現できるか否かは知られていない。一般的にこの式が満たされるのは $f\equiv 0,3,4,7{\pmod {12}}$ のときである。

歴史

数学の未解決問題
面の数が7より多く、全ての面同士が一辺を共有するような非凸多面体は存在するか？

シラッシの多面体の名は、1977年にこれを発見したハンガリーの数学者ラヨシュ・シラッシ（Lajos Szilassi）に由来する。その双対であるチャーサールの多面体はアーコシュ・チャーサール（Ákos Császár）が先んじて1949年に発見しており、こちらは7つの頂点、全ての頂点対を結ぶ21本の辺、14枚の三角形の面を持つものである(Császár 1949)。チャーサールの多面体もシラッシの多面体と同様、トーラスと同相である。

参考文献

Császár, Ákos (1949), “A polyhedron without diagonals”, Acta Sci. Math. Szeged 13: 140–142 .
Gardner, Martin (1978), “In Which a Mathematical Aesthetic is Applied to Modern Minimal Art”, Scientific American 239 (5): 22–32, doi:10.1038/scientificamerican1178-22 .
Jungerman, M.; Ringel, Gerhard (1980), “Minimal triangulations on orientable surfaces”, Acta Mathematica 145 (1–2): 121–154, doi:10.1007/BF02414187 .
Peterson, Ivars (2007), “A polyhedron with a hole”, MathTrek, Mathematical Association of America .
Szilassi, Lajos (1986), “Regular toroids”, Structural Topology 13: 69–80
マーク・チャンバーランド著、川辺治之訳『ひとけたの数に魅せられて』岩波書店、2016年。ISBN 9784000058858。

^ Branko Grünbaum, Lajos Szilassi, Geometric Realizations of Special Toroidal Complexes, Contributions to Discrete Mathematics, Volume 4, Number 1, Pages 21-39, ISSN 1715-0868

外部リンク

Ace, Tom, The Szilassi polyhedron .
Weisstein, Eric W. "Szilassi Polyhedron". mathworld.wolfram.com (英語).
Szilassi Polyhedron – Papercraft model at CutOutFoldUp.com

[1] Branko Grünbaum, Lajos Szilassi, Geometric Realizations of Special Toroidal Complexes, Contributions to Discrete Mathematics, Volume 4, Number 1, Pages 21-39, ISSN 1715-0868

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