べき乗法

べき乗法とはある $n\times n$ 行列の固有値のうち、絶対値最大のものを求める手法である。

具体的には、与えられた $n\times n$ 行列 $\mathbf {A}$ に対して、適当な初期ベクトル $\mathbf {x} ^{(0)}$ から始めて、逐次

$\mathbf {x} ^{(k)}=\mathbf {A} \mathbf {x} ^{(k-1)}$

を計算することで、 $\mathbf {x} ^{(k)}$ が $\mathbf {A}$ の絶対値最大の固有値 $\lambda _{1}$ に属する固有ベクトルに収束していくことを利用し、

$\lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k)}}{\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k-1)}}}=\lambda _{1}$

により絶対値最大の固有値を得る。

また、べき乗法に類似した、絶対値最小の固有値を求める方法として逆べき乗法がある。

収束の証明

$n\times n$ 行列 $\mathbf {A}$ の固有値 $\lambda _{i}(i=1,2,\cdots ,n)$ がすべて互いに異なり

$\mid \lambda _{1}\mid >\mid \lambda _{2}\mid >\cdots >\mid \lambda _{n}\mid$

であるとする。ここで、 $\lambda _{i}$ に属する $\mathbf {A}$ の固有ベクトルを $\mathbf {u} _{i}$ とすると、 $\mathbf {u} _{i}$ は

$\mathbf {A} \mathbf {u} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {u} _{i}$

をみたす。また、 $\mathbf {u} _{i}$ は互いに1次独立なので、初期ベクトル $\mathbf {x} ^{(0)}$ はこれらの1次結合により

$\mathbf {x} ^{(0)}=c_{1}\mathbf {u} _{1}+c_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n}$

と表すことができる。ここで、 $c_{1}\neq 0$ とすれば、 $\mathbf {x} ^{(k)}$ は以下のように表される。

\mathbf {x} ^{(k)}=\mathbf {A} ^{k}\mathbf {x} ^{(0)}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k}\mathbf {u} _{1}+c_{2}{\lambda _{2}}^{k}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}{\lambda _{n}}^{k}\mathbf {u} _{n}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k}{\biggl \{}\mathbf {u} _{1}+{\dfrac {c_{2}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}\mathbf {u} _{2}+\cdots +{\dfrac {c_{n}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{n}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}\mathbf {u} _{n}{\biggr \}}

仮定より $\mid \lambda _{l}/\lambda _{1}\mid <1\left(l\neq 1\right)$ なので、 $k\rightarrow \infty$ のとき $\mathbf {x} ^{(k)}$ は絶対値最大の固有値 $\lambda _{1}$ に属する固有ベクトル $c_{1}{\lambda _{1}}^{k}\mathbf {u} _{1}$ に収束する。