EKG数列

EKG数列（EKGすうれつ）は、次のように定義される整数列。

$a_{1}=1,a_{2}=2$。$a_{3}$以降は、直前の項と互いに素ではない最小の自然数（ただし、それまでにこの数列の項として出現していないものに限る）。最初のいくつかの項は1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21, ... である。

性質

• すべての自然数はこの数列の項として出現する。
• 素数が出現する場合、$p_{1}$, $p_{2}$:素数、$p_{1}$＜$p_{2}$ならば$p_{2}$は$p_{1}$より後に出現する。
• nを横軸に、$a_{n}$を縦軸にプロットしたグラフは、細かく増減を繰り返しながら大局的に増加する直線に近い形になる。細部を見ると心電図（英: Electrocardiogram, ECG, 独: Elektrokardiogramm, EKG）の波形に似ているのが命名の由来。

予想

• $p=a_{m}$:素数ならば$a_{m-1}=2p$, $a_{m+1}=3p$
• $n\rightarrow \infty$に対し$a_{n}$の極限は:
  • $a_{n}$：奇素数 ⇒ $a_{n}\sim {\frac {1}{2}}n(1+{\frac {1}{3logn}})$
  • $a_{n}$：奇素数の3倍 ⇒ $a_{n}\sim {\frac {3}{2}}n(1+{\frac {1}{3logn}})$
  • $a_{n}$：奇素数でも奇素数の3倍でもない ⇒ $a_{n}\sim {\frac {3}{2}}n(1+{\frac {1}{3logn}})$

外部リンク

• Ivars Peterson's MathTrek - The EKG Sequence