重畳加算法

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重畳加算法 (ちょうじょうかさんほう、英語: OverLap-Add method, OA, OLA) とは、非常に長い信号 \mathbf{x}FIRフィルタ \mathbf{h} の 離散畳み込み \mathbf{h} * \mathbf{x} を分割して(効率的に)処理する手法である。


\begin{align}
y[n]	= (\mathbf{h} * \mathbf{x})[n]
	=  \sum_{m=0}^{M-1} h[m] \cdot x[n-m]
\end{align}

ここで 信号 x[n]n=1,\ldots,Nx、フィルタ h[m]m=0,\ldots,M-1 以外で0、またM<N_xである。

重畳加算法の基本アイデアは、長い信号 \mathbf{x} を区間長Lで区切り、複数の短い断片 \mathbf{x}_k と フィルタ \mathbf{h} に関する複数の畳み込みに分割して、訳注: 適切なブロック長のFFTの積として効率的に計算することにある。

\begin{align}
x_k[n]\ & \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ 
    \begin{cases}
	x[n+kL],& n=1,2,\ldots,L\\
	0,	& \textrm{otherwise}
    \end{cases}\\
x[n]	& = \sum_{k} x_k[n-kL], \\
\end{align}

離散畳み込み(\mathbf{h} * \mathbf{x})[n]は、各区間の畳み込みの総和で表せる:

\begin{align}
y[n]	  = (\mathbf{h} * \mathbf{x})[n]
	& = \sum_{m=0}^{M-1} \left(h[m] \cdot \sum_{k} x_k[n-m-kL]\right) \\
	& = \sum_{k} (\mathbf{h} * \mathbf{x}_k)[n - kL] \\
\end{align}

ここで各区間の畳み込み y_k[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ (\mathbf{h} * \mathbf{x}_k)[n] は 領域 [1, L+M-1] 以外で 0 であり、任意の N \ge (L+M-1) に関し、領域 [1, N] における \mathbf{x}_k\mathbf{h}N巡回畳み込みと等価である。

重畳加算法のアドバンテージは、この巡回畳み込みが畳み込み定理により、次のような FFTの積の逆FFT として効率的に計算できる事にある:

y_k[n] = \textrm{IFFT}\left(\textrm{FFT}\left(\mathbf{x}_k\right)\cdot\textrm{FFT}\left(\mathbf{h}\right)\right)[n]

 

 

 

 

(式1)

ここで \textrm{FFT}\textrm{IFFT}は(ブロック長Nの)高速フーリエ変換と逆高速フーリエ変換である。 FFTアルゴリズムによっては、(巡回畳み込み計算のために)FFTブロック長Nを調整する事が理に適っている。例えばCooley-Tukey型FFTアルゴリズム (radix-2アルゴリズム) を使う場合、2の冪乗のブロック長を選ぶと有利である:

N = L + M - 1 = 2^p, \quad p \in \mathbb{N}

アルゴリズム[編集]

図1: 重畳加算法

図1に、重畳加算法のアイデアを示す。

  1. 信号\mathbf{x} (長さNx) を区間長Lで区切り、オーバーラップの無いk個の断片の列\mathbf{x}_kを得る。
  2. 各区間について、断片 \mathbf{x}_k (長さ≦L) と フィルタ \mathbf{h} (長さM) のFFT結果の積をとり逆FFTして、区間毎の畳み込み結果 \mathbf{y}_k (長さ≦L+M-1) を得る。
    (なお畳み込み結果は、元信号(区間長L)と比べ (フィルタの長さ-1) だけ長くなり、オーバーラップが生じる)
  3. 最終的な出力信号は、図に示すように、各区間の結果\mathbf{y}_k のオーバーラップ(重畳)部を加算しながら連結して得られる。

区間長Lは、FFT開発初期にはしばしば効率上の理由でFFTのブロック長Nが2の冪乗をとるよう調整されたが、更なる研究開発の結果、Nを大きな素数で素因数分解する効率的変換方法が明らかにされ、このパラメータに対する計算上の敏感さは低減された。[要説明] (訳注: FFTのブロック長Nが2の冪乗の場合の計算量はO(N\log_2{N})、一般にブロック長が N=\Pi{n_i} と素因数分解できる場合の計算量はO(N\sum{n_i})であり、ブロック長Nをゼロ・パディングで調整して計算量を最適化できる。) アルゴリズムの疑似コードは以下の通り:

   アルゴリズム 1 (重畳加算法(OLA)による線形畳み込み)
   使用するFFTアルゴリズムに応じてFFTブロック長 N と 分割区間長 L に最適値を設定
   H = FFT(h,N)       (ゼロ・パディングしたFFT )
   i = 1
   while i <= Nx
       il = min(i+L-1,Nx)
       yt = IFFT( FFT(x(i:il),N) * H, N)
       k  = min(i+M-1,Nx)
       y(i:k) = y(i:k) + yt    (オーバーラップ区間を加算 )
       i = i+L
   end

巡回畳み込みへの応用[編集]

一般に信号\mathbf{x}が周期的でその周期がN_xの場合、畳み込み結果y[n]も周期的で同じ周期をとる。

  1. 1周期分のy[n]は、ちょうど1周期分の信号 x[n] (長さNx) と フィルタh[n] (長さM) の畳み込みで得られる。ここでは前述のアルゴリズム 1を使う。
    畳み込み結果y[n]は、区間 [M, Nx] で正しい。
  2. 先頭のM-1個(区間[1, M-1])の値に、末尾のM-1個(区間[Nx+1, Nx+M-1])の値を加算すれば、区間 [1, Nx] が正しい畳み込み結果を表すようになる。

変更した疑似コードは以下の通り:[要検証 ]

   アルゴリズム 2 (重畳加算法(OLA)による巡回畳み込み)
   アルゴリズム 1 を評価
   y(1:M-1) = y(1:M-1) + y(Nx+1:Nx+M-1)
   y = y(1:Nx)
   end
  【参考】英語版記事初版のアルゴリズム 2
   (アルゴリズム 1 の必要範囲を引用 )
       使用するFFTアルゴリズムに応じてFFTブロック長 N と 分割区間長 L に最適値を設定
       H = FFT(h,N)       (ゼロ・パディングしたFFT )
   (ここまで引用 )
   ML = floor((N-1)/L)    (未使用 )
   i = Nx-L+1
   k = N - L
   while k >= 1
       il = i+L-1
       yt = IFFT( FFT(x(i:il,N)) * H )
       y(1:k) = y(1:k) + yt(N-k+1:N)
       k  = k-L
       i  = i-L
   end

計算量[編集]

畳み込みの計算コストは、操作に関わる複素数乗算の回数と関連付ける事ができる。主要な計算量はFFT演算によるもので、Radix-2アルゴリズム(訳注: ブロック長Nが2の冪乗のアルゴリズム)を長さN_x=Nの信号に適用する場合およそ C = (N\log_2{N})/2回の複素数乗算が行われる。重畳加算法における複素数乗算の回数は、FFTとフィルタ乗算とIFFTを考慮して:

C_{OA}=\left\lceil \frac{N_x}{N-M+1}\right\rceil
N\left(\log_2 N+1\right)\,[要検証 ]

なお巡回行列版のM_Lセクション (訳注: 先頭と末尾の長さ(M-1)の区間?) の追加コストは、通常とても小さいので単純化のために無視できる。

FFTのブロック長Nの最適値は、\log_2{M}\le n\le \log_2{N_x}の範囲で動かしてC_{OA}\left(N=2^n\right)の最小値を整数nを(数値的に)探す事で得られる。Nが2の冪乗であれば、FFTを効率的に計算できる。Nの値が定まれば、信号\mathbf{x}を最適に区切る区間長L=N-M+1が定まる。 比較のため、普通の巡回畳み込みの計算量も示しておく:

C_S=N_x\left(\log_2 N_x+1\right)\,[要検証 ]

したがって重畳加算法の計算量はほぼ O(N_x\log_2{N})でスケールし、他方、普通の巡回畳み込みの計算量はほぼ O(N_x\log_2{N_x})である。(訳注: N>N_xなので重畳加算法の方が計算量が多い事になってしまう。2つの計算量は要検証) しかしながら、この種の推計は複素数乗算の計算量だけ考慮しており、アルゴリズムに関わる他の処理は度外視している。各アルゴリズムに要する計算時間の直接測定こそ、より大きな関心事である。

図2に、式1による標準的な巡回畳み込み[要説明]の計算時間と、アルゴリズム 2の形の重畳加算法による同様な畳み込みの計算時間の比を示す; 縦軸は信号長N_xの対数表示、横軸はフィルタ長N_h=Mの対数表示で、計算時間の比を等高線で示している。両アルゴリズムはMatlabで実装した。青い太線は、重畳加算法の方が標準巡回畳み込みより速い(比>1)領域の境界線である。このケースでは重畳加算法は標準的手法より最大約3倍高速だった。[要検証 ]

図2: 式1の計算時間と、重畳加算法アルゴリズム 2の計算時間の比; 縦軸は信号長N_xの対数表示、横軸はフィルタ長N_h=Mの対数表示

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. pp. 63–67. ISBN 0-13-914101-4. 
  • Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. (1975). Digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. ISBN 0-13-214635-5. 
  • Hayes, M. Horace (1999). Digital Signal Processing. Schaum's Outline Series. New York: McGraw Hill. ISBN 0-07-027389-8. 

外部リンク[編集]